Найти угол между прямыми CA и CB, если A (1;-1;3) B(3;-1;1) C(-1;1;3)

Чтобы найти угол между прямыми CA и CB, нам сначала нужно определить направляющие векторы этих прямых.

1. Найдем вектор CA: \[ \vec{CA} = A - C = (1, -1, 3) - (-1, 1, 3) = (1 + 1, -1 - 1, 3 - 3) = (2, -2, 0) \]

2. Найдем вектор CB: \[ \vec{CB} = B - C = (3, -1, 1) - (-1, 1, 3) = (3 + 1, -1 - 1, 1 - 3) = (4, -2, -2) \]

Теперь у нас есть два вектора: \(\vec{CA} = (2, -2, 0)\) и \(\vec{CB} = (4, -2, -2)\).

3. Найдем косинус угла между векторами с помощью скалярного произведения: Скалярное произведение двух векторов \(\vec{A} \cdot \vec{B}\) определяется как: \[ \vec{A} \cdot \vec{B} = |A| \cdot |B| \cdot \cos(\theta) \] где \(\theta\) — угол между ними.

   Сначала найдем скалярное произведение: \[ \vec{CA} \cdot \vec{CB} = 2 \cdot 4 + (-2) \cdot (-2) + 0 \cdot (-2) = 8 + 4 + 0 = 12 \]

4. Найдем длины векторов: \[ |\vec{CA}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]

   \[ |\vec{CB}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \]

5. Теперь можем найти косинус угла \(\theta\): \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{|\vec{CA}| \cdot |\vec{CB}|} = \frac{12}{(2\sqrt{2})(2\sqrt{6})} = \frac{12}{4\sqrt{12}} = \frac{3}{\sqrt{12}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

6. Теперь найдем угол \(\theta\): \(\cos(\theta) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), что соответствует углу: \[ \theta = 30^\circ \]

Таким образом, угол между прямыми CA и CB равен \(30^\circ\).