За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки окажутся на соседних местах

Чтобы найти вероятность того, что две девочки окажутся на соседних местах за круглым столом с 9 стульями, начнем с общего количества способов рассадки.

1. Общее число способов рассадки 9 человек за круглый стол: Так как кресла круговые, то фиксируем одно место (например, одно из мальчиков), и тогда остальные 8 человек можно разместить в \(8!\) способов.

2. Общее количество рассад (9 человек): \[ 8! = 40320 \]

3. Теперь найдем количество способов, при которых две девочки сидят рядом. Рассмотрим двух девочек как один "объект" или "группу". Таким образом, вместо 9 отдельных мест у нас получается 8 "объектов": 7 мальчиков + 1 группа девочек.

4. Теперь найдем количество способов рассадки 8 объектов: Мы можем разместить эти 8 объектов (7 мальчиков + 1 группа девочек) за столом в \(7!\) способов (фиксируя один объект, как и раньше): \[ 7! = 5040 \]

5. Однако, внутри группы девочек они могут меняться местами. Девочки могут сидеть друг рядом с другом в \(2!\) способах.

6. Общее число способов, когда девочки сидят рядом: \[ 7! \times 2! = 5040 \times 2 = 10080 \]

7. Теперь мы можем найти вероятность того, что девочки будут сидеть рядом: Вероятность P равна числу благоприятных исходов (где девочки рядом) делённому на общее число исходов: \[ P = \frac{7! \times 2!}{8!} = \frac{10080}{40320} = \frac{1}{4} \]

Таким образом, вероятность того, что две девочки окажутся на соседних местах, равна \(\frac{1}{4}\) или 25%.