Докажите, что в равнобедренной трапеции диагонали равны. Сформулируйте и докажите обратное утверждение
Давайте рассмотрим равнобедренную трапецию и докажем, что в ней диагонали равны.
Определение: Равнобедренная трапеция — это трапеция, у которой два боковых ребра равны по длине.
Пусть \( ABCD \) — равнобедренная трапеция с основанием \( AB \) и \( CD \), где \( AB \parallel CD \), и \( AD = BC \). Нам нужно доказать, что диагонали \( AC \) и \( BD \) равны, т.е. \( AC = BD \).
Доказательство:
Рассмотрим треугольники \( \triangle ACD \) и \( \triangle BCD \).
В этих треугольниках:
- \( AC \) является стороной треугольника \( ACD \),
- \( BD \) является стороной треугольника \( BCD \),
- \( AD = BC \) (по определению равнобедренной трапеции),
- основание \( CD \) — общее для обоих треугольников.
Углы при основаниях равны, т.е. \( \angle ACD = \angle BCD \) (из-за параллельности оснований \( AB \) и \( CD \) и теоремы о соответственных углах).
Таким образом, по признаку равенства треугольников (сторона-угол-сторона), треугольники \( ACD \) и \( BCD \) равны: \[ \triangle ACD \cong \triangle BCD \]
Следовательно, из равенства треугольников следует: \[ AC = BD \]
Теперь сформулируем обратное утверждение: если в трапеции диагонали равны, то она является равнобедренной.
Доказательство обратного утверждения:
Пусть в трапеции \( ABCD \) диагонали \( AC \) и \( BD \) равны, т.е. \( AC = BD \).
Рассмотрим треугольники \( \triangle ACD \) и \( \triangle BCD \).
Из условия \( AC = BD \) и по определению равенства диагоналей, у нас уже есть общая сторона \( CD \).
Также, угол при \( A \) равен углу при \( B \) (\( \angle ACD = \angle BCD \)) как углы между параллельными линиями.
Таким образом, по признаку равенства треугольников \( \triangle ACD \) и \( \triangle BCD \) равны.
Следовательно, \( AD = BC \), что и соответствует определению равнобедренной трапеции.
Таким образом, мы доказали, что если в трапеции диагонали равны, то трапеция является равнобедренной.
