[5 баллов) Даны точки М(-3; 2), Р(-1; -2), K(2; 1), D(5; b). а) При каком значении в векторы МР и KD коллинеарны. b) При каком значении в векторы МР и КД перпендикулярны.

Давайте разберем вашу задачу по очереди.

а) При каком значении b векторы МР и KD коллинеарны.

Векторы коллинеарны, если их направление одинаково или противоположно, что может быть выражено через соотношение их координат. Сначала найдем координаты векторов МР и KD.

Вектор МР: \[ \overrightarrow{МР} = Р - М = (-1; -2) - (-3; 2) = (-1 + 3; -2 - 2) = (2; -4) \]

Вектор KD: \[ \overrightarrow{KD} = D - K = (5; b) - (2; 1) = (5 - 2; b - 1) = (3; b - 1) \]

Теперь векторы МР и KD будут коллинеарны, если существует константа \( k \), такая что: \[ \overrightarrow{МР} = k \cdot \overrightarrow{KD} \] или \[ (2; -4) = k \cdot (3; b - 1) \]

Из первого компонента: \[ 2 = 3k \quad \Rightarrow \quad k = \frac{2}{3} \]

Из второго компонента: \[ -4 = k \cdot (b - 1) \] Подставляем значение \( k \): \[ -4 = \frac{2}{3} (b - 1) \] Умножим обе стороны на 3 для удобства: \[ -12 = 2(b - 1) \] \[ -12 = 2b - 2 \] \[ 2b = -12 + 2 \] \[ 2b = -10 \] \[ b = -5 \]

Таким образом, векторы МР и KD коллинеарны при \( b = -5 \).

б) При каком значении b векторы МР и KD перпендикулярны.

Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Для векторов МР и KD это можно записать как: \[ \overrightarrow{МР} \cdot \overrightarrow{KD} = 0 \]

Скалярное произведение: \[ (2; -4) \cdot (3; b - 1) = 2 \cdot 3 + (-4)(b - 1) = 6 - 4(b - 1) \]

Приравняем к нулю: \[ 6 - 4(b - 1) = 0 \] Раскроем скобки: \[ 6 - 4b + 4 = 0 \] \[ 10 - 4b = 0 \] \[ 4b = 10 \] \[ b = \frac{10}{4} = 2.5 \]

Таким образом, векторы МР и KD перпендикулярны при \( b = 2.5 \).

Чтобы подвести итог:

• Векторы МР и KD коллинеарны при \( b = -5 \).
• Векторы МР и KD перпендикулярны при \( b = 2.5 \).