Угол между двумя касательными, проведёнными из одной точки к окружности, равен 8 7 ∘ 87 ∘ . Найди градусную меру меньшей из дуг, заключённых между точками касания.

Для решения этой задачи необходимо использовать некоторые свойства касательных к окружности.

1. Известно, что угол между двумя касательными, проведёнными из одной точки к окружности, равен половине разности углов, соответствующих дугам, которые заключены между точками касания этих касательных.

2. Обозначим меньшую дугу как \( x \), а большую дугу как \( y \). Сумма всех дуг в окружности равна \( 360^\circ \), то есть \( x + y = 360^\circ \).

3. По формуле следует, что угол между касательными равен \( \frac{y - x}{2} \). Из условия задачи мы знаем, что этот угол равен \( 87^\circ \). Таким образом, можно записать уравнение:

   \[ \frac{y - x}{2} = 87 \]

   Умножим обе стороны на 2:

   \[ y - x = 174 \]

Теперь у нас два уравнения:

1. \( x + y = 360 \)

2. \( y - x = 174 \)

3. Теперь из второго уравнения выразим \( y \):

   \[ y = x + 174 \]

4. Подставим это значение в первое уравнение:

   \[ x + (x + 174) = 360 \] \[ 2x + 174 = 360 \] \[ 2x = 186 \] \[ x = 93 \]

Теперь мы знаем, что меньшая дуга \( x \) равна \( 93^\circ \).

6. Если нужно найти также и большую дугу, подставим значение \( x \) обратно в первое уравнение:

   \[ y = 360 - x = 360 - 93 = 267 \]

Таким образом, градусная мера меньшей дуги, заключённой между точками касания, составляет \( 93^\circ \).