Если к некоторому положительному числу прибавить 1000, затем извлечь корень из получившейся суммы, потом приба- вить 170, то получится число, которое в девять раз меньше исходного…
Если к некоторому положительному числу прибавить 1000, затем извлечь корень из получившейся суммы, потом приба- вить 170, то получится число, которое в девять раз меньше исходного числа. Найдите исходное число. Если подходящих чисел несколько, запишите их без пробелов в порядке возрастания.
Давайте обозначим исходное положительное число как \( x \).
Согласно условию задачи, мы выполняем следующие операции:
Прибавляем 1000 к числу \( x \): \[ x + 1000 \]
Извлекаем корень из полученной суммы: \[ \sqrt{x + 1000} \]
Прибавляем 170: \[ \sqrt{x + 1000} + 170 \]
Это значение должно быть равно числу, которое в девять раз меньше исходного числа \( x \): \[ \sqrt{x + 1000} + 170 = \frac{x}{9} \]
Теперь мы можем записать уравнение:
\[ \sqrt{x + 1000} + 170 = \frac{x}{9} \]
Для решения этого уравнения сначала выразим \( \sqrt{x + 1000} \):
\[ \sqrt{x + 1000} = \frac{x}{9} - 170 \]
Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:
\[ x + 1000 = \left(\frac{x}{9} - 170\right)^2 \]
Раскроем правую часть:
\[ x + 1000 = \left(\frac{x}{9}\right)^2 - 2 \cdot \frac{x}{9} \cdot 170 + 170^2 \]
Это можно упростить:
\[ x + 1000 = \frac{x^2}{81} - \frac{340x}{9} + 28900 \]
После этого умножим все уравнение на 81 для устранения знаменателя:
\[ 81x + 81000 = x^2 - 340 \cdot 9x + 28900 \cdot 81 \]
Теперь упростим и соберем все в одну сторону:
\[ x^2 - 340 \cdot 9x - 81x + 28900 \cdot 81 - 81000 = 0 \]
Соберем коэффициенты:
\[ x^2 - (340 \cdot 9 + 81)x + (28900 \cdot 81 - 81000) = 0 \]
Теперь подставим числа:
- \( 340 \cdot 9 = 3060 \)
- \( 28900 \cdot 81 = 2334900 \)
- \( 2334900 - 81000 = 2253900 \)
Итак, уравнение выглядит так:
\[ x^2 - 3141x + 2253900 = 0 \]
Теперь найдем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-3141)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2253900 \]
После расчетов:
\[ D = 9866681 - 9015600 = 851081 \]
Находим корни уравнения по формуле:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3141 \pm \sqrt{851081}}{2} \]
Корень \( \sqrt{851081} = 923 \), следовательно:
\[ x_1 = \frac{3141 + 923}{2} = \frac{4064}{2} = 2032 \] \[ x_2 = \frac{3141 - 923}{2} = \frac{2218}{2} = 1109 \]
Таким образом, исходные числа: \( 1109 \) и \( 2032 \).
Записывая их без пробелов в порядке возрастания, получаем:
11092032
