полноеисследование y=1/2x²-x+1/2

Для полного исследования функции \( y = \frac{1}{2}x^2 - x + \frac{1}{2} \) нужно рассмотреть несколько аспектов: область определения, координаты вершины, направление ветвей, нули функции (пересечения с осью абсцисс), а также поведение функции при стремлении \( x \) к бесконечности и минус бесконечности.

1. Область определения: Поскольку это квадратичная функция, ее область определения составляет все действительные числа: \( x \in \mathbb{R} \).

2. Координаты вершины: Для нахождения вершины параболы можно использовать формулу для координаты \( x \) вершины, которая равна \( x = -\frac{b}{2a} \), где \( a \) и \( b \) – коэффициенты при \( x^2 \) и \( x \) соответственно. Здесь \( a = \frac{1}{2} \), \( b = -1 \): \[ x = -\frac{-1}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 1 \] Теперь подставим \( x = 1 \) в уравнение для нахождения \( y \): \[ y = \frac{1}{2}(1)^2 - (1) + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - 1 + \frac{1}{2} = 0 \] Таким образом, координаты вершины: \( (1, 0) \).

3. Направление ветвей: Поскольку коэффициент \( a \) положительный (\( \frac{1}{2} > 0 \)), ветви параболы направлены вверх.

4. Нули функции (пересечения с осью абсцисс): Для нахождения нулей функции приравняем \( y \) к нулю: \[ \frac{1}{2}x^2 - x + \frac{1}{2} = 0 \] Умножим на 2, чтобы избавиться от дробей: \[ x^2 - 2x + 1 = 0 \] Это уравнение можно записать как: \[ (x - 1)^2 = 0 \] Таким образом, \( x = 1 \) является единственным корнем (ноль функции).

5. Поведение функции при \( x \to +\infty \) и \( x \to -\infty \): При \( x \to +\infty \) и \( x \to -\infty \), функция \( y \) будет стремиться к \( +\infty \), так как ведущий коэффициент положителен.

Итак, в результате полного исследования функции \( y = \frac{1}{2}x^2 - x + \frac{1}{2} \) мы получили:

• Область определения: \( x \in \mathbb{R} \)
• Вершина: \( (1, 0) \)
• Направление ветвей: вверх
• Нули функции: \( x = 1 \)
• Поведение: \( y \to +\infty \) при \( x \to +\infty \) и \( x \to -\infty \)

Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно объяснение каких-либо концепций, не стесняйтесь задавать их!