Баржа прошла по течению реки 84 км и, повернув обратно, прошла еще 66 км, затратив на весь путь 10 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5…

Чтобы найти собственную скорость баржи, обозначим её как \( v \) (в км/ч). Скорость течения реки составляет 5 км/ч.

Когда баржа движется по течению, её скорость будет \( v + 5 \) км/ч, а когда она движется против течения – \( v - 5 \) км/ч.

Расстояния:

• По течению баржа прошла 84 км.
• Против течения баржа прошла 66 км.

Время: Общее время в пути составило 10 часов.

Теперь можем определить время, затраченное на движение по течению и против течения, используя формулу: \[ \text{время} = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}} \]

Для движения по течению: \[ t_1 = \frac{84}{v + 5} \]

Для движения против течения: \[ t_2 = \frac{66}{v - 5} \]

Общее время: \[ t_1 + t_2 = 10 \]

Подставляем значения: \[ \frac{84}{v + 5} + \frac{66}{v - 5} = 10 \]

Теперь нужно получить общий знаменатель и решить уравнение. Общий знаменатель будет \( (v + 5)(v - 5) \):

\[ \frac{84(v - 5) + 66(v + 5)}{(v + 5)(v - 5)} = 10 \]

Упрощаем числитель: \[ 84v - 420 + 66v + 330 = 10(v + 5)(v - 5) \] \[ 150v - 90 = 10(v^2 - 25) \] \[ 150v - 90 = 10v^2 - 250 \]

Приведем все к одному уравнению: \[ 10v^2 - 150v - 160 = 0 \]

Разделим уравнение на 10: \[ v^2 - 15v - 16 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта. Дискриминант \( D \) вычисляется так: \[ D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) \] \[ D = 225 + 64 = 289 \]

Теперь найдем корни: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 1} \] \[ \sqrt{289} = 17 \] \[ v = \frac{15 \pm 17}{2} \]

Таким образом, получаем два значения:

1. \( v = \frac{32}{2} = 16 \, \text{км/ч} \)
2. \( v = \frac{-2}{2} = -1 \, \text{км/ч} \) (это значение не имеет смысла в нашем контексте)

Таким образом, собственная скорость баржи составляет 16 км/ч.