7) Как изменилось удлинение троса, если при уменьшении жесткости в 20 раз, потенциальная энергия уменьшилась в 5

Для решения задачи о том, как изменилось удлинение троса при уменьшении жесткости в 20 раз и уменьшении потенциальной энергии в 5 раз, рассмотрим основные принципы, касающиеся жесткости и потенциальной энергии.

Жесткость (k) троса связана с его удлинением (Δx) и потенциальной энергией (Eпот). Потенциальная энергия, хранящаяся в эластичном теле, может быть выражена формулой:

\[ E_{\text{пот}} = \frac{1}{2} k (\Delta x)^2 \]

Теперь, когда жесткость уменьшилась в 20 раз, у нас есть:

\[ k_1 = k \quad \text{(начальная жесткость)} \] \[ k_2 = \frac{k}{20} \quad \text{(новая жесткость)} \]

Потенциальная энергия также уменьшается в 5 раз, что можно записать как:

\[ E_{\text{пот, после}} = \frac{1}{5} E_{\text{пот, до}} \]

Подставим в формулу для потенциальной энергии:

\[ \frac{1}{2} k_2 (\Delta x_2)^2 = \frac{1}{5} \cdot \left( \frac{1}{2} k_1 (\Delta x_1)^2 \right) \]

Зная, что \( k_2 = \frac{k_1}{20} \), можем переписать уравнение:

\[ \frac{1}{2} \cdot \frac{k_1}{20} (\Delta x_2)^2 = \frac{1}{10} k_1 (\Delta x_1)^2 \]

Упрощая, получаем:

\[ \frac{1}{20} (\Delta x_2)^2 = \frac{1}{10} (\Delta x_1)^2 \]

Теперь домножим обе стороны на 20:

\[ (\Delta x_2)^2 = 2 (\Delta x_1)^2 \]

Извлекая корень из обеих сторон, получаем:

\[ \Delta x_2 = \sqrt{2} \Delta x_1 \]

Таким образом, удлинение троса увеличилось в \(\sqrt{2}\) раз. Это означает, что при уменьшении жесткости в 20 раз и уменьшении потенциальной энергии в 5 раз, удлинение троса увеличивается в корень из двух раз.