5. Даны вектор vec p(- 3; 4) , vec d(2; 2) и vec q(8; a) . Найдите: а) косинус между векторами vec p H vec d ; b) число а, если векторы vec d и vec q коллинеарны; с) число а, если…

Решим каждую из задач по очереди.

а) Для того чтобы найти косинус угла между векторами \(\vec{p}\) и \(\vec{d}\), используем формулу: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{p} \cdot \vec{d}}{|\vec{p}| |\vec{d}|} \] где \(\vec{p} \cdot \vec{d}\) — скалярное произведение векторов, а \(|\vec{p}|\) и \(|\vec{d}|\) — длины (модули) векторов.

Найдем скалярное произведение \(\vec{p}\) и \(\vec{d}\): \[ \vec{p} \cdot \vec{d} = (-3) \cdot 2 + 4 \cdot 2 = -6 + 8 = 2 \]

Теперь найдем длины векторов: \[ |\vec{p}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] \[ |\vec{d}| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]

Теперь подставим в формулу для косинуса: \[ \cos(\theta) = \frac{2}{5 \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{2}{10\sqrt{2}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} \approx 0.141 \]

б) Чтобы векторы \(\vec{d}\) и \(\vec{q}\) были коллинеарны, должно выполняться условие пропорциональности их координат: \[ \frac{d_1}{q_1} = \frac{d_2}{q_2} \Rightarrow \frac{2}{8} = \frac{2}{a} \] Сначала упростим: \[ \frac{1}{4} = \frac{2}{a} \Rightarrow 1 \cdot a = 4 \cdot 2 \Rightarrow a = 8 \]

в) Для того чтобы векторы \(\vec{p}\) и \(\vec{q}\) были перпендикулярны, должно выполняться условие, что их скалярное произведение равно нулю: \[ \vec{p} \cdot \vec{q} = 0 \] Подставим значения: \[ (-3) \cdot 8 + 4 \cdot a = 0 \Rightarrow -24 + 4a = 0 \Rightarrow 4a = 24 \Rightarrow a = 6 \]

Таким образом, окончательные ответы: а) \(\cos(\theta) = \frac{1}{5\sqrt{2}}\) б) \(a = 8\) в) \(a = 6\)