В школе английского языка занимаются 22 ребёнка. Недавно появилась возможность открыть группу из 17 человек для занятий с носителем языка из Великобритании. Сколькими способами…

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для вычисления сочетаний, так как нам нужно выбрать 17 детей из 22. Формула для сочетаний выглядит следующим образом:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где \( C(n, k) \) – количество способов выбрать \( k \) объектов из \( n \), \( n! \) – факториал числа \( n \), который равен произведению всех целых чисел от 1 до \( n \).

В нашем случае, \( n = 22 \) (всего детей), а \( k = 17 \) (количество детей, которое мы хотим выбрать).

Подставим эти значения в формулу:

\[ C(22, 17) = \frac{22!}{17!(22 - 17)!} = \frac{22!}{17! \cdot 5!} \]

Теперь воспользуемся свойством факториалов:

\[ 22! = 22 \times 21 \times 20 \times 19 \times 18 \times 17! \]

Подставим это выражение в формулу:

\[ C(22, 17) = \frac{22 \times 21 \times 20 \times 19 \times 18 \times 17!}{17! \cdot 5!} = \frac{22 \times 21 \times 20 \times 19 \times 18}{5!} \]

Теперь вычислим \( 5! \):

\[ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \]

Теперь подставим это значение обратно в формулу:

\[ C(22, 17) = \frac{22 \times 21 \times 20 \times 19 \times 18}{120} \]

Теперь вычислим числитель:

\[ 22 \times 21 = 462 \] \[ 462 \times 20 = 9240 \] \[ 9240 \times 19 = 175560 \] \[ 175560 \times 18 = 3160800 \]

Теперь делим на \( 120 \):

\[ C(22, 17) = \frac{3160800}{120} = 26340 \]

Таким образом, существует 26340 способов собрать группу из 17 человек среди тех детей, кто уже занимается.