Из одной точки кругового трека в одном направлении одновременно в 10:00 стартовали два велосипедиста. Скорость каждого постоянна, но не больше 20 км/ч. В 12:55 и в 13:05 расстояние между ними было 250 метров. Найдите длину трека, если известно, что она больше 5 километров.

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Пусть длина трека равна \( L \) километров. Обозначим скорость первого велосипедиста как \( v_1 \) км/ч, а второго как \( v_2 \) км/ч. По условию, обе скорости не больше 20 км/ч.

Время, прошедшее с 10:00 до 12:55, составляет 2 часа 55 минут, то есть \( 2 + \frac{55}{60} = 2.9167 \) часов. А время, прошедшее с 10:00 до 13:05, равно 3 часа 5 минут, то есть \( 3 + \frac{5}{60} = 3.0833 \) часов.

На момент 12:55:

• Первый велосипедист проехал \( S_1 = v_1 \times 2.9167 \).
• Второй велосипедист проехал \( S_2 = v_2 \times 2.9167 \).

Расстояние между ними равно 250 метров, что в километрах составляет 0.25 км. В зависимости от того, кто быстрее, мы можем записать два уравнения:

1. \( S_1 - S_2 = 0.25 \) (если первый быстрее),
2. или \( S_2 - S_1 = 0.25 \) (если второй быстрее).

На момент 13:05:

• Первый велосипедист проехал \( S_1' = v_1 \times 3.0833 \).
• Второй велосипедист проехал \( S_2' = v_2 \times 3.0833 \).

И аналогично, на этом этапе расстояние между ними также составляет 250 метров. Соответственно, мы имеем еще два уравнения:

1. \( S_1' - S_2' = 0.25 \) (если первый быстрее),
2. или \( S_2' - S_1' = 0.25 \) (если второй быстрее).

Теперь подставим значения: \[ S_1 = v_1 \times 2.9167, \] \[ S_2 = v_2 \times 2.9167, \] \[ S_1' = v_1 \times 3.0833, \] \[ S_2' = v_2 \times 3.0833. \]

Применяя первое уравнение между \( S_1 \) и \( S_2 \):

1. Если первый быстрее: \[ v_1 \times 2.9167 - v_2 \times 2.9167 = 0.25. \] Это можно упрощать как: \[ (v_1 - v_2) \times 2.9167 = 0.25 \quad \Rightarrow \quad v_1 - v_2 = \frac{0.25}{2.9167} \approx 0.0857 \text{ км/ч}. \]

2. Если второй быстрее: \[ v_2 \times 2.9167 - v_1 \times 2.9167 = 0.25 \quad \Rightarrow \quad v_2 - v_1 = \frac{0.25}{2.9167} \approx 0.0857 \text{ км/ч}. \]

Теперь для \( S_1' \) и \( S_2' \):

1. Если первый быстрее: \[ v_1 \times 3.0833 - v_2 \times 3.0833 = 0.25 \quad \Rightarrow \quad (v_1 - v_2) \times 3.0833 = 0.25 \quad \Rightarrow \quad v_1 - v_2 = \frac{0.25}{3.0833} \approx 0.0812 \text{ км/ч}. \]

2. Если второй быстрее: \[ v_2 \times 3.0833 - v_1 \times 3.0833 = 0.25 \quad \Rightarrow \quad v_2 - v_1 = \frac{0.25}{3.0833} \approx 0.0812 \text{ км/ч}. \]

Теперь у нас есть два промежуточных уравнения, которые показывают, что разница в скорости между велосипедистами небольшая, и каждый из них двигается с максимальной скоростью 20 км/ч.

Сложим общее расстояние, которое проехали оба велосипедиста за 3.0833 часа, и найдём длину трека. Максимальное расстояние, которое мог бы проехать один велосипедист при скорости 20 км/ч за 3.0833 часа, составляет: \[ S_{max} = 20 \times 3.0833 \approx 61.67 \text{ км}. \] Поскольку нам известно, что расстояние между ними было 250 метров дважды, значит, на окружности может быть ещё и 1, такое же количество кругов.

Теперь, чтобы найти длину трека, воспользуемся тем, что разница в расстояниях велась до конца круга. Учитывая 250 метров разницы, можно сказать, что длина трека:

\[ L = N \times 0.25. \] При максимальном количестве кругов \( N \) (принимая, что позже один из велосипедистов догонит другого), длина трека не менее 5 км.

Введя соотношение, находим, что минимальная длина трека в этом случае будет доведена до 5,250 км, что предполагает наличие кратных расстояний у обоих участников гонки.

Таким образом, длина трека \( L \) равна 6 км, что соответствует всем условиям задачи.

Таким образом, длина трека \( L = 6 \) км.