Вариант 1. Контрольная работа. Решение треугольников 9 класс 1. Две стороны треугольника равны 10 см и 12 см, а угол между ними 120°. Найдите третью сторону треугольника. 2. В треугольнике АВС известно, что АС = 512 см, ∠B = 45°,

С удовольствием помогу вам решить задачи, связанные с треугольниками.

1. Найти третью сторону треугольника

Для вычисления третьей стороны \( c \) треугольника с двумя известными сторонами \( a = 10 \) см, \( b = 12 \) см и углом между ними \( \angle C = 120^\circ \) можно использовать теорему косинусов:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \]

Подставим значения:

\[ c^2 = 10^2 + 12^2 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot \cos(120^\circ) \] \[ = 100 + 144 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \] \[ = 100 + 144 + 120 \] \[ = 364 \]

Теперь находим \( c \):

\[ c = \sqrt{364} \approx 19.1 \text{ см} \]

2. Найти сторону \( AB \) треугольника \( ABC \)

Для нахождения стороны \( AB \) в треугольнике с известными сторонами \( AC = 512 \) см, углами \( \angle B = 45^\circ \) и \( \angle C = 30^\circ \), воспользуемся правилом синусов:

\[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} \]

Перепишем формулу:

\[ AB = AC \cdot \frac{\sin C}{\sin B} \]

Подставляем значения:

\[ AB = 512 \cdot \frac{\sin(30^\circ)}{\sin(45^\circ)} = 512 \cdot \frac{0.5}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 512 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 362.04 \text{ см} \]

3. Определение типа треугольника

Для определения типа треугольника со сторонами 6 см, 8 см и 11 см используем теорему:

• Остроугольный: \( a^2 + b^2 > c^2 \)
• Прямоугольный: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
• Тупоугольный: \( a^2 + b^2 < c^2 \)

Сначала отсортируем стороны по возрастанию: 6 см, 8 см, 11 см. Теперь проверим:

\[ 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \] \[ 11^2 = 121 \]

Так как \( 100 < 121 \), треугольник является тупоугольным.

4. Найдите периметр треугольника

Одну сторону обозначим \( x \), другую тогда \( x - 3 \). Угол между ними равен 60°, и третья сторона равна 7 см.

Используем теорему косинусов:

\[ 7^2 = x^2 + (x - 3)^2 - 2 \cdot x \cdot (x - 3) \cdot \cos(60^\circ) \]

Подставим значения:

\[ 49 = x^2 + (x^2 - 6x + 9) - x(x - 3) \]

Упрощаем уравнение:

\[ 49 = 2x^2 - 6x + 9 - x^2 + 3x \] \[ 49 = x^2 - 3x + 9 \] \[ x^2 - 3x - 40 = 0 \]

Решаем квадратное уравнение:

\[ (x - 8)(x + 5) = 0 \]

Таким образом, \( x = 8 \) (отрицательное значение не подходит).

Теперь находим другую сторону:

\[ x - 3 = 5 \]

Периметр:

\[ P = x + (x - 3) + 7 = 8 + 5 + 7 = 20 \text{ см} \]

5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник

Для нахождения радиуса вписанной окружности \( r \) треугольника со сторонами \( a = 4 \) см, \( b = 13 \) см и \( c = 15 \) см используем формулу:

\[ r = \frac{S}{p} \]

где \( S \) - площадь, \( p \) - полупериметр:

\[ p = \frac{4 + 13 + 15}{2} = 16 \text{ см} \]

Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:

\[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]

Подсчитаем:

\[ S = \sqrt{16(16 - 4)(16 - 13)(16 - 15)} = \sqrt{16 \cdot 12 \cdot 3 \cdot 1} = \sqrt{48} \approx 6.93 \text{ см}^2 \]

Теперь находим радиус:

\[ r = \frac{S}{p} = \frac{\sqrt{48}}{16} \approx 0.433 \text{ см} \]

6. Найти медиану треугольника

Треугольник со сторонами 4 см, 5 см и 7 см. Чтобы найти медиану, проведенную к меньшей стороне (4 см), используем формулу:

\[ m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} \]

где \( a = 4 \) см, \( b = 5 \) см, \( c = 7 \) см. Подставим:

\[ m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2(5^2) + 2(7^2) - 4^2} = \frac{1}{2} \sqrt{50 + 98 - 16} \] \[ = \frac{1}{2} \sqrt{132} = \frac{\sqrt{132}}{2} \approx 5.77 \text{ см} \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или задачи, не стесняйтесь задавать!