Заряд на обкладках конденсатора колебательного контура изменяется по закону q=5⋅10−7cos⁡(500πt). Индуктивность контура 4 Гн. Найди максимальное значение энергии электрического поля конденсатора в мкДж. Ответ округли до десятых.

Для решения задачи нужно найти максимальное значение энергии электрического поля конденсатора в колебательном контуре. Энергия электрического поля в конденсаторе определяется выражением:

\[ U = \frac{q^2}{2C} \]

где \( U \) — энергия, \( q \) — заряд на обкладках конденсатора, а \( C \) — ёмкость конденсатора.

Заданный заряд колебательного контура меняется по закону:

\[ q = 5 \cdot 10^{-7} \cos(500\pi t) \]

Чтобы найти максимальное значение заряда, вспомним, что функция косинуса имеет максимальное значение равное 1. Таким образом, максимальный заряд будет:

\[ q_{\text{max}} = 5 \cdot 10^{-7} \]

Теперь, чтобы продолжить, нам необходимо найти ёмкость \( C \) конденсатора. Для колебательного контура известно, что частота колебаний \( \omega \) и индуктивность \( L \) связаны с ёмкостью \( C \) через формулу:

\[ \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \]

где \( L = 4 \, \text{Гн} \) и \( \omega = 500 \pi \, \text{рад/с} \).

Сначала выразим ёмкость \( C \):

1. Подставим известные значения в формулу.
2. Найдем \( \omega^2 \):

\[ \omega^2 = (500\pi)^2 \] \[ \omega^2 = 250000 \pi^2 \]

3. Приравняем это выражение к \( \frac{1}{LC} \):

\[ 250000 \pi^2 = \frac{1}{4 C} \]

4. Затем выразим \( C \):

\[ C = \frac{1}{4 \cdot 250000 \pi^2} \]

Теперь подставим известные значения и выразим ёмкость:

\[ C = \frac{1}{1000000 \pi^2} \]

5. Подставим значение \( q_{\text{max}} \) и \( C \) в формулу для энергии:

\[ U_{\text{max}} = \frac{(5 \cdot 10^{-7})^2}{2 \cdot C} \]

Воспользуемся найденным значением \( C \):

\[ C = \frac{1}{1000000 \pi^2} \]

И подставим его в формулу для энергии:

\[ U_{\text{max}} = \frac{(5 \cdot 10^{-7})^2}{2 \cdot \frac{1}{1000000 \pi^2}} \]

Посчитаем:

1. Сначала найдем \( (5 \cdot 10^{-7})^2 = 25 \cdot 10^{-14} \).
2. Поделим на \( 2 \) и умножим на \( 1000000 \pi^2 \):

\[ U_{\text{max}} = 25 \cdot 10^{-14} \cdot 500000 \cdot \pi^2 \]

Затем откроем константы:

\[ U_{\text{max}} = 25 \cdot 10^{-14} \cdot 500000 \cdot 9.87 \approx 1.235 \cdot 10^{-7} \]

Переведем в микроджоули:

\[ 1.235 \cdot 10^{-7} \, \text{Дж} = 0.1235 \, \text{мкДж} \]

Округляем до десятых:

\[ U_{\text{max}} \approx 0.1 \, \text{мкДж} \]

Итак, максимальное значение энергии электрического поля конденсатора в колебательном контуре составляет примерно 0.1 мкДж.