25^-8 × 5^7 ÷ ( -125 )^-5 × ( -5 )^4

Чтобы решить выражение \( 25^{-8} \times 5^{7} \div (-125)^{-5} \times (-5)^{4} \), начнем с преобразования каждого элемента.

1. Преобразование оснований:

   • Заметим, что \( 25 = 5^2 \), поэтому \( 25^{-8} = (5^2)^{-8} = 5^{-16} \).
   • Также, \( -125 = -5^3 \), и тогда \( (-125)^{-5} = (-5^3)^{-5} = (-1)^{-5} \times (5^3)^{-5} = -1 \times 5^{-15} = -5^{-15} \).
   • Наконец, \( (-5)^{4} = 5^{4} \) (поскольку четная степень делает отрицательное число положительным).

2. Подстановка: Теперь подставим все преобразованные элементы в исходное выражение: \[ 5^{-16} \times 5^{7} \div (-5^{-15}) \times 5^{4} \]

3. Упрощение: Объединим множители: \[ 5^{-16 + 7} \div (-5^{-15}) \times 5^{4} = 5^{-9} \div (-5^{-15}) \times 5^{4} \] Выражение деления можно записать как умножение на обратное: \[ 5^{-9} \times (-5^{15}) \times 5^{4} \]

   Далее упростим: \[ 5^{-9 + 15 + 4} \times (-1) = 5^{10} \times (-1) = -5^{10} \]

4. Ответ: В результате мы получаем: \[ -5^{10} \]

Таким образом, окончательный ответ: \(-5^{10}\).