Решить иррациональные уравнения √x-3=x-9
Для решения иррационального уравнения \( \sqrt{x} - 3 = x - 9 \) следуем следующим шагам:
Изолируем корень: Переносим все члены, не содержащие корень, на одну сторону уравнения: \[ \sqrt{x} = x - 6 \]
Возводим обе стороны уравнения в квадрат: Это поможет избавиться от корня, но следует помнить, что это может ввести extraneous solutions (ложные решения): \[ (\sqrt{x})^2 = (x - 6)^2 \] Это дает: \[ x = (x - 6)(x - 6) \\ x = x^2 - 12x + 36 \]
Переносим все в одну сторону: Постепенно упрощаем уравнение: \[ 0 = x^2 - 12x + 36 - x \] \[ 0 = x^2 - 13x + 36 \]
Находим корни квадратного уравнения: Для этого можно использовать дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25 \]
Теперь находим корни с помощью формулы: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm 5}{2} \] Это дает два возможных решения: \[ x_1 = \frac{18}{2} = 9 \\ x_2 = \frac{8}{2} = 4 \]
Проверяем найденные корни: Важно проверить, удовлетворяют ли они исходному уравнению:
Для \( x = 9 \): \[ \sqrt{9} - 3 = 3 - 3 = 0 \quad \text{и} \quad 9 - 9 = 0 \] Оба равенства верны.
Для \( x = 4 \): \[ \sqrt{4} - 3 = 2 - 3 = -1 \quad \text{и} \quad 4 - 9 = -5 \] Это выражение неверно, следовательно, \( x = 4 \) не является решением.
Таким образом, единственным решением уравнения \( \sqrt{x} - 3 = x - 9 \) является \( \boxed{9} \).
