Данис живёт на клетчатой плоскости и может перемещаться по плоскости в одном из четырёх направлений: направо, налево, вверх, вниз. За один шаг он перемещается на единицу длины. Ось OX (первая координата) направлено вправо, ось OY (вторая координата) направлена вверх. Данис начинает путь в точке (0; 0). Например, если он выполнит четыре команды перемещения «направо», «вниз», «налево», «вверх», то посетит следующие точки: (1; 0), (1; -1), (0; -1), (0; 0). Всего Данис сделал 1000 шагов, после чего захотел узнать ответы на следующие вопросы: 1. Сколько раз Данис прошёл через точку (-11; 9)? 2. Какое количество различных точек посетил Данис? 3. В какой точке Данис побывал больше всего раз? В ответе координаты разделяйте пробелом.

Давайте разберемся с вопросами, связанными с перемещениями Даниса на клетчатой плоскости.

1. Сколько раз Данис прошёл через точку (-11; 9)?

   Для того чтобы Данис прошёл через точку (-11; 9), ему необходимо сделать 11 шагов влево и 9 шагов вверх. Однако важно учитывать, что между каждой парой шагов могут быть шаги в других направлениях. Общая длина пути в этом случае должна составлять 11 + 9 = 20 шагов. Поскольку у Даниса всего 1000 шагов, он может сделать множество других шагов, которые не влияют на его способность посетить эту точку.

   Рассмотрим возможности. Чтобы посетить точку (-11; 9) хотя бы один раз, шаги могут следовать по следующему алгоритму: после того, как он сделает 11 шагов влево и 9 шагов вверх, он может вернуться назад или двигаться дальше в другом направлении. Количество способов перемещения можно рассчитать, используя комбинаторику. Для простоты предположим, что Данис будет делать шаги только в этих четырех направлениях для определения количества перемещений.

   Находясь на плоскости, его возможные перемещения могут позволить ему повторно пройти через эту точку. Однако точное количество раз, когда он мог бы пройти через точку (-11; 9), зависит от конкретной последовательности шагов и алгоритма.

2. Какое количество различных точек посетил Данис?

   Данис может перемещаться на клетчатой плоскости, и в процессе 1000 шагов он, вероятно, сможет посетить множество различных точек. Так как Данис может бесконечно возвращаться назад и двигаться в разные стороны, теоретически количество посещенных точек может быть довольно большим. Часто количество посещенных точек определяется количеством различных комбинаций шагов, которые он может предпринять за 1000 шагов.

3. В какой точке Данис побывал больше всего раз?

   Данная проблема требует анализа частоты посещения каждой точки. Можно предположить, что точка, возле которой Данис более всего перемещался, это точка его старта (0; 0). Поскольку он может в любой момент возвращаться к стартовой точке, это может оказаться наиболее посещаемая точка.

В этой задаче главным образом полезно рассмотреть перемещения как комбинаторные задачи. Определение точного количества посещений каждой точки требует детального изучения последовательностей шагов, что является интересной задачей для расширенного изучения.