3. Расстояние между центрами планеты и ее спутника равно 400000 км. Масса спутника в 9 раз меньше массы планеты. В какой точке силы притяжения к этим небесным телам, действующие…

Чтобы решить эту задачу, нам нужно рассмотреть силы притяжения, действующие на космический корабль со стороны планеты и её спутника.

Обозначим:

• \( M \) - массу планеты,
• \( m \) - массу спутника, тогда \( m = \frac{M}{9} \),
• \( d \) - расстояние между центрами планеты и спутника, \( d = 400000 \) км.

Сила притяжения \( F \) между двумя телами рассчитывается по формуле:

\[ F = \frac{G \cdot M \cdot m}{r^2} \]

где \( G \) - гравитационная постоянная, \( r \) - расстояние между телами.

Предположим, что космический корабль находится на расстоянии \( x \) от центра планеты и \( (400000 - x) \) от центра спутника.

Сила притяжения со стороны планеты \( F_1 \) будет:

\[ F_1 = \frac{G \cdot M \cdot m_{косм_корабля}}{x^2} \]

и сила притяжения со стороны спутника \( F_2 \):

\[ F_2 = \frac{G \cdot \left(\frac{M}{9}\right) \cdot m_{косм_корабля}}{(400000 - x)^2} \]

Для того чтобы силы притяжения компенсировали друг друга, нужно, чтобы они были равны:

\[ F_1 = F_2 \]

Подставим наши выражения:

\[ \frac{G \cdot M \cdot m_{косм_корабля}}{x^2} = \frac{G \cdot \left(\frac{M}{9}\right) \cdot m_{косм_корабля}}{(400000 - x)^2} \]

Мы можем сократить \( G \) и \( m_{косм_корабля} \) с обеих сторон, что даст:

\[ \frac{M}{x^2} = \frac{\frac{M}{9}}{(400000 - x)^2} \]

Теперь избавимся от \( M \):

\[ \frac{1}{x^2} = \frac{1}{9 \cdot (400000 - x)^2} \]

Умножим обе стороны на \( 9 \cdot x^2 \cdot (400000 - x)^2 \):

\[ 9 \cdot (400000 - x)^2 = x^2 \]

Раскроем скобки:

\[ 9 \cdot (400000^2 - 800000x + x^2) = x^2 \]

Переносим все в одну сторону:

\[ 360000000000 - 7200000x + 9x^2 - x^2 = 0 \]

Упрощаем уравнение:

\[ 8x^2 - 7200000x + 360000000000 = 0 \]

Теперь это квадратное уравнение. Применим квадратную формулу для нахождения \( x \):

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \( a = 8 \), \( b = -7200000 \), \( c = 360000000000 \).

Сначала найдем \( b^2 - 4ac \):

\[ b^2 - 4ac = (-7200000)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 360000000000 \]

Вычисляем:

\[ 51840000000000 - 11520000000000 = 40320000000000 \]

Теперь подставляем в формулу:

\[ x = \frac{7200000 \pm \sqrt{40320000000000}}{16} \]

Решение этого уравнения даст значение \( x \), с которым вы сможете определить расстояние от центра планеты до космического корабля и, соответственно, расстояние от спутника.