решите иррациональные уравнения √x-1+√2x-1=5

Для решения уравнения √(x-1) + √(2x-1) = 5, начнем с того, что упростим выражения.

1. Сначала изолируем один из корней. Переносим √(x-1) на правую сторону уравнения:

√(2x-1) = 5 - √(x-1)

2. Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(√(2x-1))^2 = (5 - √(x-1))^2

2x - 1 = 25 - 10√(x-1) + (x-1)

3. Упрощаем уравнение:

2x - 1 = 25 - 10√(x-1) + x - 1

2x - 1 = x + 24 - 10√(x-1)

4. Переносим все слагаемые на одну сторону:

2x - x - 1 - 24 = -10√(x-1)

x - 25 = -10√(x-1)

5. Умножаем обе стороны на -1:

25 - x = 10√(x-1)

6. Возводим обе стороны в квадрат снова:

(25 - x)^2 = (10√(x-1))^2

625 - 50x + x^2 = 100(x - 1)

7. Раскрываем скобки и приводим подобные:

625 - 50x + x^2 = 100x - 100

x^2 - 150x + 725 = 0

8. Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-150)^2 - 41725 = 22500 - 2900 = 19600

9. Находим корни уравнения:

x₁,₂ = (150 ± √19600) / 2

√19600 = 140, поэтому:

x₁ = (150 + 140) / 2 = 145, x₂ = (150 - 140) / 2 = 5

10. Теперь проверим оба корня на удовлетворение исходному уравнению:

Для x₁ = 145: √(145-1) + √(2*145-1) = √144 + √289 = 12 + 17 = 29 (не подходит).

Для x₂ = 5: √(5-1) + √(2*5-1) = √4 + √9 = 2 + 3 = 5 (подходит).

Итак, единственный корень уравнения:

x = 5.