В треугольнике ABC угол C равен 90 ∘ , BC = √ 7 2 , sin ( B ) = 3 4 . Найдите AB .
В треугольнике \( ABC \) с прямым углом \( C \) и длиной стороны \( BC = \sqrt{72} \), а также известным синусом угла \( B \) равным \( \frac{3}{4} \), мы можем найти длину стороны \( AB \) с помощью тригонометрических соотношений.
Поскольку \( C \) – прямой угол, мы знаем, что \( \sin(B) \) определяется как отношение противолежащей стороны к гипотенузе. В нашем случае:
\[ \sin(B) = \frac{AC}{AB} \]
Отсюда мы имеем:
\[ \frac{3}{4} = \frac{AC}{AB} \implies AC = \frac{3}{4} AB \]
Теперь давайте воспользуемся теоремой Пифагора. В треугольнике \( ABC \), где \( AB \) — гипотенуза, \( BC \) — одна катета, а \( AC \) — другая катета, мы можем записать:
\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]
Подставим значение \( BC \):
\[ AB^2 = AC^2 + (\sqrt{72})^2 \]
\((\sqrt{72})^2 = 72\), следовательно:
\[ AB^2 = AC^2 + 72 \]
Теперь подставим \( AC = \frac{3}{4} AB \) в уравнение:
\[ AB^2 = \left(\frac{3}{4} AB\right)^2 + 72 \]
Это даёт:
\[ AB^2 = \frac{9}{16} AB^2 + 72 \]
Умножаем всё на 16, чтобы избавиться от дробей:
\[ 16 AB^2 = 9 AB^2 + 1152 \]
Упрощаем уравнение:
\[ 16 AB^2 - 9 AB^2 = 1152 \]
\[ 7 AB^2 = 1152 \]
Делим обе стороны на 7:
\[ AB^2 = \frac{1152}{7} \]
Теперь найдём \( AB \):
\[ AB = \sqrt{\frac{1152}{7}} \approx \sqrt{164.57} \approx 12.81 \]
Таким образом, длина стороны \( AB \) составляет \( \sqrt{\frac{1152}{7}} \) или примерно \( 12.81 \).
