В треугольнике ABC угол C равен 90 ∘ , BC = √ 7 2 , sin ( B ) = 3 4 . Найдите AB .
В треугольнике ABC, где угол C равен 90°, мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения стороны AB. В данном случае нам известна сторона BC и значение синуса угла B.
Поскольку угол C прямой, мы можем использовать определение синуса для угла B: \[ \sin(B) = \frac{противолежащая\ сторона}{гипотенуза} = \frac{AC}{AB} \]
Из задачи нам известно, что \(\sin(B) = \frac{3}{4}\). Это значит, что: \[ \frac{AC}{AB} = \frac{3}{4} \] Или, в виде пропорции: \[ AC = \frac{3}{4}AB \]
У нас также есть сторона BC, которая равна \(\sqrt{72} = 6\sqrt{2}\). В прямоугольном треугольнике ABC приложение теоремы Пифагора дает нам: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]
Подставим выражение для AC из первого шага: \[ AB^2 = \left(\frac{3}{4}AB\right)^2 + (6\sqrt{2})^2 \] \[ AB^2 = \frac{9}{16}AB^2 + 72 \]
Упорядочим уравнение: \[ AB^2 - \frac{9}{16}AB^2 = 72 \] \[ \left(1 - \frac{9}{16}\right)AB^2 = 72 \] \[ \frac{7}{16}AB^2 = 72 \]
Умножим обе стороны на \(\frac{16}{7}\): \[ AB^2 = 72 \cdot \frac{16}{7} \] \[ AB^2 = \frac{1152}{7} \]
Теперь найдем AB, взяв квадратный корень: \[ AB = \sqrt{\frac{1152}{7}} = \frac{\sqrt{1152}}{\sqrt{7}} = \frac{24\sqrt{2}}{\sqrt{7}} \]
Итак, длина стороны AB равна \(\frac{24\sqrt{2}}{\sqrt{7}}\).
