решить иррациональные уравнения √2x-4-√x+5=1
Чтобы решить иррациональное уравнение \(\sqrt{2x - 4} - \sqrt{x + 5} = 1\), следуем следующим шагам:
Изолируем один из корней. Добавим \(\sqrt{x + 5}\) к обеим сторонам: \[ \sqrt{2x - 4} = \sqrt{x + 5} + 1 \]
Возводим обе стороны уравнения в квадрат, чтобы убрать корень. Это даст нам следующее: \[ 2x - 4 = (\sqrt{x + 5} + 1)^2 \] Раскроем скобки: \[ 2x - 4 = (x + 5) + 2\sqrt{x + 5} + 1 \] Упростим: \[ 2x - 4 = x + 6 + 2\sqrt{x + 5} \]
Приведем подобные члены. Переместим все термины, не содержащие корень, на одну сторону: \[ 2x - x - 6 - 4 = 2\sqrt{x + 5} \] Упрощаем: \[ x - 10 = 2\sqrt{x + 5} \]
Изолируем корень и снова возводим в квадрат: \[ \frac{x - 10}{2} = \sqrt{x + 5} \] Возведем в квадрат: \[ \left(\frac{x - 10}{2}\right)^2 = x + 5 \] Упрощаем: \[ \frac{(x - 10)^2}{4} = x + 5 \]
Умножаем обе стороны на 4, чтобы избавиться от дроби: \[ (x - 10)^2 = 4(x + 5) \] Раскроем скобки: \[ x^2 - 20x + 100 = 4x + 20 \]
Приведем всё к одной стороне уравнения: \[ x^2 - 20x - 4x + 100 - 20 = 0 \] Упрощаем: \[ x^2 - 24x + 80 = 0 \]
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант \(D\) равен: \[ D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 80 = 576 - 320 = 256 \]
Находим корни уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 \pm 16}{2} \] Это дает: \[ x_1 = \frac{40}{2} = 20,\quad x_2 = \frac{8}{2} = 4 \]
Проверим корни в исходном уравнении: Для \(x = 20\): \[ \sqrt{2 \cdot 20 - 4} - \sqrt{20 + 5} = \sqrt{36} - \sqrt{25} = 6 - 5 = 1 \quad \text{(верно)} \]
Для \(x = 4\): \[ \sqrt{2 \cdot 4 - 4} - \sqrt{4 + 5} = \sqrt{4} - \sqrt{9} = 2 - 3 = -1 \quad \text{(неверно)} \]
Итак, единственным решением уравнения является: \[ \boxed{20} \]
