2^2x+1+2^х=4

Для решения уравнения \(2^{2x+1} + 2^x = 4\) начнем с упрощения его.

1. Перепишем \(2^{2x+1}\):
   \(2^{2x+1} = 2^{2x} \cdot 2^1 = 2^{2x} \cdot 2 = 2^{2x+1}\).

2. Заменим \(2^x\) на \(y\):
   Тогда \(2^{2x} = (2^x)^2 = y^2\).
   Уравнение становится:
   \(2y^2 + y = 4\).

3. Переносим 4 на другую сторону:
   \(2y^2 + y - 4 = 0\).

4. Теперь решим квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:
   Дискриминант \(D\) равен \(b^2 - 4ac\).
   Здесь \(a = 2\), \(b = 1\), \(c = -4\):
   \(D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 1 + 32 = 33\).

5. Находим корни уравнения:
   \(y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{4}\).

Теперь найдем значение \(y\) (то есть \(2^x\)):

• Положительный корень \(y_1 = \frac{-1 + \sqrt{33}}{4}\) и отрицательный корень \(y_2 = \frac{-1 - \sqrt{33}}{4}\).
  Поскольку \(y = 2^x\) должно быть положительным, оставляем только \(y_1\).

6. Теперь найдём \(x\):
   \(2^x = \frac{-1 + \sqrt{33}}{4}\).

7. Применяем логарифм:
   \(x = \log_2\left(\frac{-1 + \sqrt{33}}{4}\right)\).

Таким образом, окончательное решение уравнения:
\(x = \log_2\left(\frac{-1 + \sqrt{33}}{4}\right)\).