Упростить выражение √X²+2x+1 - √X²-2x+1
Давайте упростим выражение \( \sqrt{x^2 + 2x + 1} - \sqrt{x^2 - 2x + 1} \).
Сначала заметим, что выражения под корнями можно упростить:
- \( x^2 + 2x + 1 \) можно записать как \( (x + 1)^2 \).
- \( x^2 - 2x + 1 \) можно записать как \( (x - 1)^2 \).
Теперь подставим эти упрощения в наше выражение:
\[ \sqrt{(x + 1)^2} - \sqrt{(x - 1)^2} \]
Так как квадратный корень из квадрата равен самому аргументу, если он неотрицателен (что мы предполагаем, если \( x \geq -1 \) и \( x \geq 1 \) для соответствующих выражений), то:
\[ \sqrt{(x + 1)^2} = |x + 1| \] \[ \sqrt{(x - 1)^2} = |x - 1| \]
Теперь можем записать упрощенное выражение:
\[ |x + 1| - |x - 1| \]
Это выражение зависит от значений \( x \). Рассмотрим три случая:
Если \( x \geq 1 \): \[ |x + 1| = x + 1, \quad |x - 1| = x - 1 \] Тогда выражение упрощается до: \[ (x + 1) - (x - 1) = 2 \]
Если \( -1 \leq x < 1 \): \[ |x + 1| = x + 1, \quad |x - 1| = -(x - 1) = -x + 1 \] Тогда выражение становится: \[ (x + 1) - (-x + 1) = x + 1 + x - 1 = 2x \]
Если \( x < -1 \): \[ |x + 1| = -(x + 1) = -x - 1, \quad |x - 1| = -(x - 1) = -x + 1 \] Тогда выражение упрощается до: \[ (-x - 1) - (-x + 1) = -x - 1 + x - 1 = -2 \]
Итак, итоговое упрощение зависит от значения \( x \):
- \( x \geq 1 \): результат \( 2 \)
- \( -1 \leq x < 1 \): результат \( 2x \)
- \( x < -1 \): результат \( -2 \)
Если вам нужна дополнительная помощь или уточнение, не стесняйтесь спрашивать!
