Решить задачу
Давай разберёмся с этой задачей!
У нас есть система уравнений:
- \( x + y = \frac{12\pi}{48} \)
- \( \frac{1}{2}(\sin^2 x + \sin^2 y) = \frac{1}{2} \)
Сначала упростим первое уравнение. Поскольку \(12\pi/48 = \pi/4\), получаем: \[ x + y = \pi/4 \]
Теперь рассмотри второе уравнение. Поскольку обе части умножены на 1/2, можем убрать её: \[ \sin^2 x + \sin^2 y = 1 \]
При сложении этих уравнений используем тригонометрическую тождество на сумму квадратов синусов: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] И аналогично для y.
Таким образом, у нас получается классическая система, описывающая круг на тригонометрической единичной окружности.
Теперь нам нужно определить, какие значения \( x \) и \( y \) удовлетворяют обеим условиям среди предложенных вариантов.
- \( x + y = \pi/4 \)
- Сумма квадратов их синусов должна быть равна 1.
Из предложенных вариантов внимательнее посмотри на вариант A: \( x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \) и \( y = -\frac{\pi}{2} + 2m\pi \).
Проверим это: \[ x + y = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} \] Это подходит!
Убедимся, что оба выполняют второе уравнение: Так как \( \sin^2 x + \sin^2 y = 1 \) выполняется в рамках единичной окружности и данное разложение описывает преобразование углов, то \( \sin x = \cos y \).
Значит, вариант A является правильным.
Ответ: A
