Данис живёт на клетчатой плоскости и может перемещаться по плоскости в одном из четырёх направлений: направо, налево, вверх, вниз. За один шаг он перемещается на единицу длины. Ось OX (первая координата) направлено вправо, ось OY (вторая координата) направлена вверх. Данис начинает путь в точке (0; 0). Например, если он выполнит четыре команды перемещения «направо», «вниз», «налево», «вверх», то посетит следующие точки: (1; 0), (1; -1), (0; -1), (0; 0). Всего Данис сделал 1000 шагов, после чего захотел узнать ответы на следующие вопросы: 1. Сколько раз Данис прошёл через точку (-11; 9)? 2. Какое количество различных точек посетил Данис? 3. В какой точке Данис побывал больше всего раз? В ответе координаты разделяйте пробелом.

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

1. Сколько раз Данис прошёл через точку (-11; 9)?

Чтобы понять, может ли Данис пройти через эту точку, нужно учитывать, что он начинает с координат (0, 0) и может двигаться в любом направлении. Так как он прошёл 1000 шагов, то итоговые изменения по координатам должны быть некотоым образом связаны:

• Изменение по оси X (правая координата) будет +11, если он движется вправо, и -11, если влево.
• Изменение по оси Y (вторая координата) будет +9, если вверх, и -9, если вниз.

При достижении точки (-11, 9) необходимо, чтобы общее количество шагов вверх и вниз дополнительно соответствует количеству шагов вправо и влево.

Давайте обозначим шаги:

• x: количество шагов вправо,
• y: количество шагов влево,
• u: количество шагов вверх,
• d: количество шагов вниз.

Тогда у нас будет система:

• \( x - y = -11 \) (1)
• \( u - d = 9 \) (2)
• \( x + y + u + d = 1000 \) (3)

Сначала из (1) выразим \( x \): \( x = y - 11 \)

Затем из (2) выразим \( u \): \( u = d + 9 \)

Подставим эти значения в (3):

• \( (y - 11) + y + (d + 9) + d = 1000 \)
• \( 2y + 2d - 2 = 1000 \)
• \( 2y + 2d = 1002 \)
• \( y + d = 501 \)

Теперь у нас есть две переменные и мы можем найти количество возможных решений.

Поскольку \( d = 501 - y \):

• Мы подставляем \( d \) в \( u \): \( u = (501 - y) + 9 = 510 - y \).

Теперь имеем:

• \( x = y - 11 \)
• \( y \) должно быть хотя бы 11, чтобы \( x \) не стал отрицательным. Таким образом, \( y \) может принимать значения от 11 до 501.

Количество возможных \( y \): \( 501 - 11 + 1 = 491 \).

Следовательно, Данис мог пройти через точку (-11, 9) 491 раз.

2. Какое количество различных точек посетил Данис?

Максимально возможное расстояние - это 1000 шагов. Если Данис двигался только в одном направлении (например, вправо 1000 раз), он посетит только одну точку. Но если он перемещался в разных направлениях, то количество уникальных координат будет зависеть от того, как сбалансированы движения.

Если рассмотреть движение по оси X и Y, максимально он может посетить все точки \( (x, y) \), где \( |x| + |y| \leq 1000 \). Это образует ромб, имеющий:

Формула количества различных точек на плоскости даст: \[ \text{Количество уникальных точек} = \frac{(1000+1)(1000+2)}{2} = 501501. \]

3. В какой точке Данис побывал больше всего раз?

Наиболее посещаемыми будут центральные точки, к которым он возвращается, равно как и точки вокруг них. Изучая движения Даниса, логично предположить, что сумма способов расположиться вокруг (0, 0) будет максимальной.

В данном случае, самой часто посещаемой точкой будет, вероятно, исходная точка (0, 0), поскольку он возвращается к ней много раз. Оценить количество возвращений можно на основе количества шагов, так как Данис в основном будет часто сходить и возвращаться. Таким образом, многие точки будут посещены одинаковое количество раз, однако (0, 0) будет встречаться чаще всего.

Ответы:

1. 491
2. 501501
3. 0 0