а) Решить с помощью теоремы синусов. Найдите длину стороны AC треугольника ABC, если длина стороны AB равна √10, а углы A и C равны 15° и 45° соответственно.

Для решения этой задачи с использованием теоремы синусов, начнем с того, что теорема синусов утверждает, что отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего угла является постоянной для всех трех сторон и углов треугольника.

В треугольнике ABC у нас есть следующие данные:

• Длина стороны AB = \( \sqrt{10} \)
• Угол A = \( 15^\circ \)
• Угол C = \( 45^\circ \)

Сначала найдем угол B. Для этого воспользуемся тем, что сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \): \[ B = 180^\circ - A - C = 180^\circ - 15^\circ - 45^\circ = 120^\circ \]

Теперь у нас есть все углы треугольника:

• Угол A = \( 15^\circ \)
• Угол B = \( 120^\circ \)
• Угол C = \( 45^\circ \)

Теперь применим теорему синусов: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] где \( a = BC \), \( b = AC \), \( c = AB \).

В нашем случае:

• \( c = AB = \sqrt{10} \)
• \( A = 15^\circ \)
• \( B = 120^\circ \)
• \( C = 45^\circ \)

Мы ищем длину стороны AC (обозначим её как \( b \)). По формуле теоремы синусов получаем: \[ \frac{b}{\sin 120^\circ} = \frac{\sqrt{10}}{\sin 15^\circ} \]

Теперь выразим \( b \): \[ b = \frac{\sqrt{10} \cdot \sin 120^\circ}{\sin 15^\circ} \]

Зная, что \( \sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( \sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \), подставим эти значения: \[ b = \frac{\sqrt{10} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}} \]

Упростим выражение: \[ b = \sqrt{10} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{30}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} \]

Для удобства можно умножить числитель и знаменатель на конъюгатное выражение: \[ b = \frac{2\sqrt{30}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{2})} = \frac{2\sqrt{30}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{2\sqrt{30}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} \] \[ b = \frac{\sqrt{30}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} \]

Таким образом, длина стороны AC равна \( \frac{\sqrt{30}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} \).