в геометрической прогрессии третий член равен 3 . Найдите произведение пяти первых членов прогрессии.

В геометрической прогрессии каждый следующий член равен произведению предыдущего члена на постоянное отношение, которое называется знаменателем прогрессии. Обозначим первый член прогрессии как \( a_1 \), а знаменатель прогрессии как \( q \).

По условию, третий член равен 3, то есть: \[ a_3 = a_1 \cdot q^2 = 3. \]

Также можем записать первые пять членов геометрической прогрессии:

• \( a_1 \)
• \( a_2 = a_1 \cdot q \)
• \( a_3 = a_1 \cdot q^2 \)
• \( a_4 = a_1 \cdot q^3 \)
• \( a_5 = a_1 \cdot q^4 \)

Чтобы найти произведение первых пяти членов, запишем его: \[ P = a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot a_4 \cdot a_5 = a_1 \cdot (a_1 \cdot q) \cdot (a_1 \cdot q^2) \cdot (a_1 \cdot q^3) \cdot (a_1 \cdot q^4). \] Это выражение можно упростить: \[ P = a_1^5 \cdot q^{1+2+3+4} = a_1^5 \cdot q^{10}. \]

Теперь из выражения для третьего члена \( a_1 \cdot q^2 = 3 \) можем выразить \( a_1 \) через \( q \): \[ a_1 = \frac{3}{q^2}. \]

Подставим это значение в формулу для произведения: \[ P = \left(\frac{3}{q^2}\right)^5 \cdot q^{10} = \frac{3^5}{q^{10}} \cdot q^{10} = 3^5 = 243. \]

Таким образом, произведение пяти первых членов геометрической прогрессии равно 243.