7.5. Из проволоки сопротивлением R = 20 Ом и длиной l = 0,5 м сделали кольцо и поместили в магнитное поле, индукция которого меняется по закону B = B₀ at, где a = 10^4 Тл/с, t – время в секундах. Какая мощность выделяется в проводнике, если плоскость кольца перпендикулярна линиям магнитного поля?
Чтобы найти мощность, выделяемую в проводнике, необходимо воспользоваться законом Фарадея и формулой для мощности.
Сначала определим ЭДС (электродвижущую силу), индукция которой меняется во времени. По закону Фарадея, ЭДС в контуре равна:
\[ \mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt} \]
где \(\Phi_B\) - магнитный поток. Магнитный поток можно выразить как:
\[ \Phi_B = B \cdot S \]
где \(S\) - площадь кольца. Для кольца с радиусом \(r\), площадь \(S\) будет равна \(\pi r^2\). Так как плоскость кольца перпендикулярна линиям магнитного поля, мы можем подставить значение индукции:
\[ B = B_0 \cdot at \]
Тогда поток можно выразить как:
\[ \Phi_B = B_0 \cdot at \cdot S \]
Теперь находим производную от магнитного потока:
\[ \frac{d\Phi_B}{dt} = B_0 \cdot a \cdot S \]
Теперь подставляем это выражение в формулу для ЭДС:
\[ \mathcal{E} = - \frac{d\Phi_B}{dt} = - B_0 \cdot a \cdot S \]
Теперь можем использовать ЭДС, чтобы найти ток в контуре. Сопротивление проводника обозначим как \(R\). Тогда ток \(I\) в контуре рассчитывается по закону Ома:
\[ I = \frac{\mathcal{E}}{R} = \frac{-B_0 \cdot a \cdot S}{R} \]
Наконец, мощность, выделяющаяся в проводнике, определяется как:
\[ P = I^2 \cdot R \]
Подставляем сюда выражение для тока:
\[ P = \left(\frac{B_0 \cdot a \cdot S}{R}\right)^2 \cdot R = \frac{(B_0 \cdot a \cdot S)^2}{R} \]
Теперь, зная, что \(R = 20 \, \text{Ом}\), необходимо также узнать площадь \(S\) кольца. Если радиус кольца, например, равен \(r\), тогда:
\[ S = \pi r^2 \]
К сожалению, радиус не был указан в задаче, поэтому давайте рассмотрим ответ в общем виде. Подставив \(S\) мы получим:
\[ P = \frac{(B_0 \cdot a \cdot \pi r^2)^2}{20} \]
Для конкретного численного ответа нужно подставить значения \(B_0\) и \(r\), если они известны. Это будет искомая мощность в проводнике.
