Набор на кружки Учащиеся школы должны выбрать себе дополнительные занятия на год. Каждый из них выбрал как минимум один предмет из предложенных: биологии, музыки и шахмат.…

Давайте разберем каждый вопрос по порядку:

1. Какое минимальное количество учащихся могло быть в школе?

Для минимального количества учащихся можно использовать принцип включения-исключения. Пусть \( n \) — общее количество учащихся. Тогда: \[ n \geq (150 + 130 + 100) - (|B \cap M| + |B \cap C| + |M \cap C|) \] Где:

• \( |B| = 150 \) (биология)
• \( |M| = 130 \) (музыка)
• \( |C| = 100 \) (шахматы)

Если предположить, что учащиеся, выбирающие все три предмета, минимальны, то в случае пересечения можно взять 0, чтобы минимизировать количество. Тем не менее, чтобы точно вычислить, необходимо учитывать, что каждый из 150, 130 и 100 чисел включает тех, кто может пересекаться.

Следовательно: \[ n \geq 150 + 130 + 100 - (0 + 0 + 0) = 380 \]

В итоге минимальное количество учащихся в школе может составлять 150, если предположить, что каждый выбрал только биологию.

Ответ: Минимальное количество учащихся — 150.

2. Какое максимальное количество учащихся могло быть в школе?

Максимальное количество учащихся будет равно сумме всех, если предположить, что ни один не выбрал более одного предмета. Таким образом: \[ n_{\text{max}} = \max(150, 130, 100) = 150 \]

На основании условия, что все учащиеся выбрали хотя бы один предмет, максимальное количество не превышает 150.

Ответ: Максимальное количество учащихся — 150.

3. Какое количество школьников выбрало ровно один из этих двух предметов (биология и музыка)?

Пусть:

• \( x \) - количество школьников, выбравших биологию только.
• \( y \) - количество школьников, выбравших музыку только.
• \( z \) - количество школьников, выбравших биологию и музыку (нам известно, что \( z = 85 \)).

Тогда можно записать: \[ x + z + y = 150 \] \[ y + z + x = 130 \]

Зная, что \( z = 85 \), получаем: \[ x + 85 + y = 150 \] \[ y + 85 + x = 130 \]

Из этих уравнений:

1. \( x + y = 150 - 85 = 65 \)
2. \( x + y = 130 - 85 = 45 \)

Поскольку мы ищем количество школьников, выбравших только один из предметов, нам нужно найти \( x + y \). Вычисляя с учетом пересечений, получаем:

\[ |B \cup M| = |B| + |M| - |B \cap M| \] Рассмотрим \( |B \cap M| = z = 85 \).

Таким образом:

Ответ: Количество школьников, выбравших ровно один из предметов — 130 — 85 = 45.

4. Сколько школьников выбрало и шахматы, и музыку?

Предположим, что:

• \( A \) - количество учащихся, выбравших биологию.
• \( B \) - количество учащихся, выбравших музыку.
• \( C \) - количество учащихся, выбравших шахматы.

Из условия, нам известно:

• \( A = 150 \)
• \( B = 130 \)
• \( C = |C \cap M| + |C \setminus M| \)

Согласно условиям задачи:

• \( |B \cap M| = 60 \)
• \( |B| = 130 \)
• Все учащиеся в школе составляют 250.

Подставляя, получим количество, выбравших музыку и шахматы:

Ответ: Количество школьников, выбравших и музыки и шахматы — 100.

5. Какое минимальное дополнительное количество школьников должно записаться на предложенные предметы, чтобы число людей, посещающих только музыку, стало равняться количеству людей, не посещающих её?

Пусть \( x \) — учащиеся, выбравшие только музыку, тогда:

• Зафиксируем \( k \) — учащиеся, которые выбрали музыку (то есть всего 130).
• Ограничение: \( 250 - k = 250 - 130 = 120 \).

Подсчитаем:

• Количество учащихся, не посещающих музыку (уже 250): 120.
• То есть, \((130 - x) + n + x = 120\).

Следовательно, количество новых студентов может составить 4.

Ответ: Минимальное дополнительное количество школьников — 80.