2x³+x²-3x-1=0

Чтобы решить уравнение \(2x^3 + x^2 - 3x - 1 = 0\), давайте попробуем использовать метод разложения на множители или поиск корней.

Шаг 1: Попробуем найти рациональные корни

Сначала можем воспользоваться теорией о рациональных корнях. Согласно теореме Рациональных Корней, возможные рациональные корни уравнения будут делителями свободного члена (в данном случае -1) и старшего коэффициента (в данном случае 2). Это дает нам следующие возможные корни:

-1, 1, -1/2, 1/2

Шаг 2: Подставим возможные корни

Начнем с подстановки \(x = 1\):

\[ 2(1)^3 + (1)^2 - 3(1) - 1 = 2 + 1 - 3 - 1 = -1 \quad (\text{не корень}) \]

Теперь попробуем \(x = -1\):

\[ 2(-1)^3 + (-1)^2 - 3(-1) - 1 = -2 + 1 + 3 - 1 = 1 \quad (\text{не корень}) \]

Теперь подставим \(x = 1/2\):

\[ 2(1/2)^3 + (1/2)^2 - 3(1/2) - 1 = 2 \cdot \frac{1}{8} + \frac{1}{4} - \frac{3}{2} - 1 \]

Посчитаем:

\[ = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{3}{2} - 1 = \frac{2}{4} - \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} - 1 = -2 \quad (\text{не корень}) \]

Теперь пробуем \(x = -1/2\):

\[ 2(-1/2)^3 + (-1/2)^2 - 3(-1/2) - 1 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{8}\right) + \frac{1}{4} + \frac{3}{2} - 1 \]

Посчитаем:

\[ = -\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{3}{2} - 1 = 0 \quad (\text{корень}) \]

Мы нашли корень \(x = -\frac{1}{2}\).

Шаг 3: Деление на \(x + \frac{1}{2}\)

Теперь нужно разделить исходное уравнение на \(x + \frac{1}{2}\) с помощью деления многочленов или synthetic division.

Шаг 4: Найдем оставшиеся корни

Теперь, зная один из корней, мы можем упростить уравнение до квадратного:

\[ 2x^3 + x^2 - 3x - 1 = (x + \frac{1}{2})(2x^2 - x - 2) \]

Теперь решаем квадратное уравнение \(2x^2 - x - 2 = 0\) с помощью формулы квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Подставляя \(a = 2\), \(b = -1\), \(c = -2\):

\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2)}}{2 \cdot 2} \] \[ = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 16}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{4} \]

Ответ

Таким образом, корни уравнения:

1. \(x = -\frac{1}{2}\)
2. \(x = \frac{1 + \sqrt{17}}{4}\)
3. \(x = \frac{1 - \sqrt{17}}{4}\)

Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно помочь с другим материалом, не стесняйтесь спрашивать!