Вычислить напряженность электрического поля, создаваемого шаром радиуса R, равномерно заряженным по объему с плотностью заряда р для точек внутри и вне шара. Построить график…

Чтобы вычислить напряженность электрического поля \( E \) для равномерно заряженного шара, мы будем использовать закон Гаусса.

1. Напряженность электрического поля внутри шара (\( r < R \))

Для точки внутри шара, где радиус \( r < R \), мы рассмотрим сферическую оболочку радиуса \( r \). Сначала найдем общее количество заряда \( Q \), находящееся внутри этого радиуса.

Объем шара с радиусом \( r \) равен:

\[ V_r = \frac{4}{3} \pi r^3 \]

Заряд \( Q \), находящийся внутри радиуса \( r \):

\[ Q = \rho V_r = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 \]

Теперь применим закон Гаусса. Поле \( E \) на поверхности сферы радиусом \( r \) будет одинаковым по всей поверхности и направлено наружу. Тогда, по закону Гаусса:

\[ \Phi_E = E(r) \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\epsilon_0} \]

Подставляем \( Q \):

\[ E(r) \cdot 4\pi r^2 = \frac{\rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^3}{\epsilon_0} \]

Сокращаем \( 4 \pi \):

\[ E(r) r^2 = \frac{\rho r^3}{3\epsilon_0} \]

Откуда получаем выражение для \( E(r) \):

\[ E(r) = \frac{\rho r}{3\epsilon_0} \]

2. Напряженность электрического поля вне шара (\( r \geq R \))

Для точек вне шара, где \( r \geq R \), мы учитываем весь заряд шара. Объем шара с радиусом \( R \) равен:

\[ V_R = \frac{4}{3} \pi R^3 \]

Общий заряд шара:

\[ Q = \rho V_R = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 \]

По закону Гаусса для точки на расстоянии \( r \):

\[ E(r) \cdot 4 \pi r^2 = \frac{Q}{\epsilon_0} \]

Подставляем \( Q \):

\[ E(r) \cdot 4 \pi r^2 = \frac{\rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3}{\epsilon_0} \]

Сокращаем \( 4 \pi \):

\[ E(r) r^2 = \frac{\rho R^3}{3 \epsilon_0} \]

Откуда:

\[ E(r) = \frac{\rho R^3}{3 \epsilon_0 r^2} \]

3. График зависимости \( E(r) \)

Теперь у нас есть два выражения для \( E(r) \):

• Для \( 0 \leq r < R \): \[ E(r) = \frac{\rho r}{3\epsilon_0} \]

• Для \( r \geq R \): \[ E(r) = \frac{\rho R^3}{3 \epsilon_0 r^2} \]

Можно построить график зависимости \( E(r) \) от \( r \):

• Для \( r = 0 \) до \( r = R \), \( E(r) \) линейно увеличивается и при \( r = R \) достигает максимального значения.
• Для \( r > R \), \( E(r) \) убывает с увеличением \( r \) по закону \( \frac{1}{r^2} \).

На графике это будет выглядеть как линия, сначала возрастающая, затем убывающая. Вы можете построить график на координатной сетке, чтобы визуально проиллюстрировать эти изменения.