При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель…

Для решения этой задачи мы можем использовать концепцию вероятности и ряд математических вычислений.

Обозначим:

• \( p_1 = 0.4 \) — вероятность уничтожения цели при первом выстреле.
• \( p_2 = 0.6 \) — вероятность уничтожения цели при каждом последующем выстреле.

Обозначим вероятность того, что цель не будет уничтожена при первом выстреле \( q_1 \): \[ q_1 = 1 - p_1 = 1 - 0.4 = 0.6. \]

Теперь мы вычислим вероятность того, что цель не будет уничтожена после \( n \) выстрелов. После первого выстрела она не будет уничтожена с вероятностью \( q_1 \), и затем, если она все еще жива, будет следующая стрельба. То есть:

• Вероятность того, что цель не уничтожена после второго выстрела (первый и второй) будет равна \( q_1 \times (1 - p_2) = q_1 \times 0.4 = 0.6 \times 0.4 = 0.24 \).
• Аналогично, для третьего выстрела: \[ P(\text{не уничтожена после 3 выстрелов}) = q_1 \times (1 - p_2)^2 = 0.6 \times 0.4 \times 0.4 = 0.096. \]

Таким образом, для произвольного \( n \)-го выстрела, общая вероятность того, что цель не будет уничтожена после \( n \) выстрелов, будет выглядеть следующим образом: \[ P(\text{не уничтожена после } n \text{ выстрелов}) = q_1 \times (1 - p_2)^{n-1} = 0.6 \times (0.4)^{n-1}. \]

Следовательно, вероятность того, что цель будет уничтожена после \( n \) выстрелов, равна: \[ P(\text{уничтожена после } n \text{ выстрелов}) = 1 - P(\text{не уничтожена после } n \text{ выстрелов}) = 1 - 0.6 \times (0.4)^{n-1}. \]

Мы хотим, чтобы эта вероятность была не менее 0.98: \[ 1 - 0.6 \times (0.4)^{n-1} \geq 0.98. \] Это можно упростить до: \[ 0.6 \times (0.4)^{n-1} \leq 0.02. \] Теперь разделим обе стороны на 0.6: \[ (0.4)^{n-1} \leq \frac{0.02}{0.6} \approx 0.0333. \]

Теперь применим логарифмы к обеим сторонам: \[ n-1 \log(0.4) \leq \log(0.0333). \] Поскольку \( \log(0.4) \) отрицательное значение, и при делении на него неравенство изменится на противоположное: \[ n-1 \geq \frac{\log(0.0333)}{\log(0.4)}. \]

Теперь давайте найдем \( \log(0.0333) \) и \( \log(0.4) \):

• \( \log(0.0333) \approx -1.477 \)
• \( \log(0.4) \approx -0.398 \)

Теперь подставляем в неравенство: \[ n-1 \geq \frac{-1.477}{-0.398} \approx 3.71. \] Следовательно, \( n \geq 4.71 \), что означает, что нам нужно минимум 5 выстрелов.

Таким образом, для того чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0.98, потребуется не менее 5 выстрелов.