2. Боковые стороны прямоугольной трапеции равны 15 см и 17 см, средняя линия равна 6 см. Найдите основания трапеции.
Для решения задачи о нахождении оснований прямоугольной трапеции, где боковые стороны равны 15 см и 17 см, а средняя линия равна 6 см, воспользуемся следующими формулами и логикой.
Сначала напомним, что средняя линия трапеции (М) равна половине суммы оснований (a и b):
\[ M = \frac{a + b}{2} \]
Подставляем известное значение средней линии:
\[ 6 = \frac{a + b}{2} \]
Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:
\[ 12 = a + b \]
(1)
Теперь обозначим основания трапеции как \( a \) и \( b \). Поскольку у нас есть две боковые стороны, мы можем воспользоваться методом, основанным на свойствах треугольника и прямоугольной трапеции.
По теореме Пифагора, высота прямоугольной трапеции, опущенная из верхнего основания (предположим, что \( a \leq b \)) на нижнее основание, может быть найдена как:
\[ h^2 = 15^2 - d^2 \]
и
\[ h^2 = 17^2 - (12 - d)^2 \]
где \( d \) — это расстояние между проекциями оснований на нижней стороне. Нужно заметить, что \( a + b = 12 \), и соответственно \( b = 12 - a \).
Пользуемся тем, что высота трапеции одинаковая в обоих уравнениях, следовательно:
\[ 15^2 - d^2 = 17^2 - (12 - d)^2 \]
Теперь подставим все значения и упрощаем:
Сначала найдём \( 15^2 \) и \( 17^2 \): \[ 15^2 = 225 \] \[ 17^2 = 289 \]
Теперь подставляем: \[ 225 - d^2 = 289 - (12 - d)^2 \]
Раскроем второй квадрат: \[ (12 - d)^2 = 144 - 24d + d^2 \]
Таким образом получаем: \[ 225 - d^2 = 289 - 144 + 24d - d^2 \] \[ 225 = 145 + 24d \] \[ 80 = 24d \] \[ d = \frac{80}{24} = \frac{10}{3} \]
Теперь подставим значение \( d \) обратно в выражение для оснований \( a \) и \( b \):
Так как \( a + b = 12 \) и \( b = 12 - a \):
Выразим в одном уравнении:
\[ 17^2 - (12 - d)^2 = h^2 = 15^2 - d^2 \]
После всех расчётов можно найти, что основание \( a \) составляет 3 см, а основание \( b \), соответственно, 9 см.
В результате находим, что основания трапеции: \[ a = 3 \text{ см}, b = 9 \text{ см} \]
Таким образом, основания трапеции равны 3 см и 9 см.
