Масса арбуза имеет математическое ожидание 10 кг и стандартное отклонение 2 кг. Оцените вероятность того, что в 1 т окажется не более 105 арбузов.

Для решения задачи, необходимо использовать свойства нормального распределения, поскольку масса арбузов распределена нормально с математическим ожиданием (μ) 10 кг и стандартным отклонением (σ) 2 кг.

Первым шагом будет определить массу одного арбуза. Мы знаем, что в 1 тонне 1000 кг. Условие задачи гласит, что нас интересует вероятность того, что в 1 т окажется не более 105 арбузов. Это можно записать как: \[ N \leq 105 \]

Для того чтобы найти ожидаемую массу 105 арбузов, воспользуемся формулой: \[ E(X) = n \cdot \mu \] где \( n \) — количество арбузов (в нашем случае 105), а \( \mu \) — математическое ожидание массы одного арбуза.

Подставим значения: \[ E(X) = 105 \cdot 10 \, \text{кг} = 1050 \, \text{кг} \]

Теперь найдём стандартное отклонение общей массы 105 арбузов. Поскольку массы независимы и нормальны, то стандартное отклонение можно найти по формуле: \[ \sigma_{total} = \sqrt{n} \cdot \sigma \]

Подставим належащие значения: \[ \sigma_{total} = \sqrt{105} \cdot 2 \]

Теперь найдём значение \( \sqrt{105} \): \[ \sqrt{105} \approx 10.25 \]

Таким образом: \[ \sigma_{total} \approx 10.25 \cdot 2 \approx 20.5 \, \text{кг} \]

Теперь у нас есть средняя масса \( E(X) = 1050 \, \text{кг} \) и стандартное отклонение \( \sigma_{total} \approx 20.5 \, \text{кг} \).

Теперь нам нужно найти вероятность того, что масса 105 арбузов не превысит 1000 кг. Мы будем искать: \[ P(X \leq 1000) \]

Для этого преобразуем значение: \[ Z = \frac{X - E(X)}{\sigma_{total}} \] где \( X = 1000 \, \text{кг} \).

Расчитаем Z: \[ Z = \frac{1000 - 1050}{20.5} \approx \frac{-50}{20.5} \approx -2.44 \]

Теперь, используя таблицу стандартного нормального распределения, найдём вероятность \( P(Z \leq -2.44) \). Обычно такое значение Z соответствует вероятности около 0.0074.

Таким образом, вероятность того, что в 1 т окажется не более 105 арбузов, составляет примерно 0.74%. Это довольно низкая вероятность, что соответствует интуитивному ожиданию, так как 105 арбузов весом 10 кг в среднем — это уже достаточно большой вес, близкий к 1050 кг.

Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь задавать!