Найдите остаток от деления многочлена –8x3 + 14x2 + 3x на двучлен –4x + 1.
Чтобы найти остаток от деления многочлена \(-8x^3 + 14x^2 + 3x\) на двучлен \(-4x + 1\), воспользуемся теоремой о остатке. Она гласит, что остаток от деления многочлена \(P(x)\) на многочлен \(D(x) = ax + b\) можно найти, подставив значение \(-\frac{b}{a}\) в многочлен \(P(x)\).
В нашем случае:
- \(a = -4\)
- \(b = 1\)
Таким образом, мы вычисляем значение: \[ x_0 = -\frac{1}{-4} = \frac{1}{4} \]
Теперь подставим \(x_0 = \frac{1}{4}\) в многочлен \(P(x) = -8x^3 + 14x^2 + 3x\):
Вычислим \((-8(\frac{1}{4})^3)\): \[ -8 \cdot \frac{1}{64} = -\frac{1}{8} \]
Вычислим \(14(\frac{1}{4})^2\): \[ 14 \cdot \frac{1}{16} = \frac{14}{16} = \frac{7}{8} \]
Вычислим \(3(\frac{1}{4})\): \[ 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \]
Теперь сложим все три части: \[ -\frac{1}{8} + \frac{7}{8} + \frac{3}{4} \]
Приведем \(\frac{3}{4}\) к общему знаменателю: \[ \frac{3}{4} = \frac{6}{8} \]
Теперь подставим: \[ -\frac{1}{8} + \frac{7}{8} + \frac{6}{8} = -\frac{1}{8} + \frac{13}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \]
Таким образом, остаток от деления многочлена \(-8x^3 + 14x^2 + 3x\) на двучлен \(-4x + 1\) равен \(\frac{3}{2}\).
