6) Задуманы два натуральных числа. Найдите эти числа, если их произведение равно 48, а их сумма равна 16
Давайте решим задачу шаг за шагом. У нас есть два натуральных числа, обозначим их как \(x\) и \(y\). Из условия задачи мы знаем два уравнения:
- Произведение: \(x \cdot y = 48\)
- Сумма: \(x + y = 16\)
Чтобы найти эти числа, можно выразить одно из уравнений через другое. Начнем с уравнения суммы:
\[ y = 16 - x \]
Теперь подставим это значение \(y\) во второе уравнение (произведение):
\[ x \cdot (16 - x) = 48 \]
Теперь раскроем скобки:
\[ 16x - x^2 = 48 \]
Преобразуем это уравнение:
\[ -x^2 + 16x - 48 = 0 \]
Умножим уравнение на -1, чтобы получить положительное значение при \(x^2\):
\[ x^2 - 16x + 48 = 0 \]
Теперь мы можем решить квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:
Дискриминант \(D\) вычисляется по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac \]
Где \(a = 1\), \(b = -16\), \(c = 48\):
\[ D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 256 - 192 = 64 \]
Теперь находим корни уравнения с помощью формулы корней:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставляем значения:
\[ x_{1,2} = \frac{16 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} \] \[ x_{1,2} = \frac{16 \pm 8}{2} \]
Это дает нам два значения:
- \( x_1 = \frac{24}{2} = 12 \)
- \( x_2 = \frac{8}{2} = 4 \)
Теперь, если \(x = 12\), то \(y\) будет:
\[ y = 16 - 12 = 4 \]
И наоборот, если \(x = 4\), то \(y\) будет:
\[ y = 16 - 4 = 12 \]
Таким образом, два натуральных числа, которые мы искали, это 12 и 4.
