Докажите неравенство: (а - 5²) > а (а - 10)

Чтобы доказать неравенство \((a - 5^2) > a(a - 10)\), начнем с упрощения обеих сторон.

1. Подставим значение \(5^2\): \[ 5^2 = 25 \] Таким образом, неравенство можно записать как: \[ (a - 25) > a(a - 10) \]

2. Раскроем правую часть: \[ a(a - 10) = a^2 - 10a \] Теперь у нас есть неравенство: \[ a - 25 > a^2 - 10a \]

3. Переносим все слагаемые в одну сторону: \[ 0 > a^2 - 10a - a + 25 \] Это можно упростить до: \[ 0 > a^2 - 11a + 25 \] Или: \[ a^2 - 11a + 25 < 0 \]

4. Теперь найдем корни квадратного уравнения \(a^2 - 11a + 25 = 0\) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 121 - 100 = 21 \] Дискриминант положительный, значит, у уравнения два различных корня.

5. Найдем сами корни: \[ a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 \pm \sqrt{21}}{2} \]

6. Эти корни разделят числовую ось на три интервала. Чтобы определить, где функция \(a^2 - 11a + 25\) отрицательна, следует проверить знаки в каждом из интервалов, образованных корнями.

7. Поскольку функция — это парабола с ветвями вверх (коэффициент \(a\) положителен), она будет ниже оси \(x\) между корнями. Мы можем примерно определить корни: \[ a_1 \approx 5.7, \quad a_2 \approx 5.3 \]

Таким образом, неравенство \(a^2 - 11a + 25 < 0\) выполняется между найденными корнями. Выводим, что неравенство \((a - 5^2) > a(a - 10)\) верно для значений \(a\) в этом промежутке.

Надеюсь, это объяснение было полезным! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать.