В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник , гипотенуза которого равна 25 см ,а радиус вписанной в него окружности ,равен 5 см. Высоты всех боковых граней пирамиды равны…

Для нахождения боковой поверхности пирамиды нам нужно рассчитать площадь боковых граней. Пирамида имеет одну вершину и три боковые грани (треугольники), которые соединяют вершину с каждым из углов основания.

1. Сначала найдем катеты прямоугольного треугольника по формуле радиуса вписанной окружности: \[ r = \frac{a + b - c}{2} \] где \( r \) — радиус вписанной окружности, \( a \) и \( b \) — катеты треугольника, а \( c \) — гипотенуза.

   Известно, что:

   • \( r = 5 \) см,
   • \( c = 25 \) см.

   Подставляем значения: \[ 5 = \frac{a + b - 25}{2} \] Умножим на 2: \[ 10 = a + b - 25 \] Отсюда получаем: \[ a + b = 35 \]

2. Также для прямоугольного треугольника выполняется теорема Пифагора: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] Подставляем \( c = 25 \): \[ a^2 + b^2 = 625 \]

3. Теперь у нас есть система уравнений:

   • \( a + b = 35 \)
   • \( a^2 + b^2 = 625 \)

   Для решения системы, выразим \( b \) из первого уравнения: \[ b = 35 - a \] Подставим \( b \) во второе уравнение: \[ a^2 + (35 - a)^2 = 625 \] Раскроем скобки: \[ a^2 + (1225 - 70a + a^2) = 625 \] Объединим подобные термины: \[ 2a^2 - 70a + 1225 - 625 = 0 \] \[ 2a^2 - 70a + 600 = 0 \] Упростим: \[ a^2 - 35a + 300 = 0 \]

4. Решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-35)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 300 = 1225 - 1200 = 25 \]

   Найдем корни: \[ a = \frac{35 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{35 \pm 5}{2} \] Корни: \[ a_1 = \frac{40}{2} = 20 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{30}{2} = 15 \]

   Таким образом, катеты \( a = 20 \) см и \( b = 15 \) см.

5. Теперь мы можем найти площадь боковых граней. Высота каждой боковой грани (треугольника) равна 13 см.

   Площадь каждой боковой грани можно вычислить по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} \] У нас три боковые грани:

   • Первая грань с основанием 20 см: \[ S_1 = \frac{1}{2} \times 20 \times 13 = 130 \text{ см}^2 \]
   • Вторая грань с основанием 15 см: \[ S_2 = \frac{1}{2} \times 15 \times 13 = 97.5 \text{ см}^2 \]
   • Третья грань (гипотенуза) с основанием 25 см: \[ S_3 = \frac{1}{2} \times 25 \times 13 = 162.5 \text{ см}^2 \]

6. Теперь суммируем площади всех боковых граней: \[ S_{\text{бок.}} = S_1 + S_2 + S_3 = 130 + 97.5 + 162.5 = 390 \text{ см}^2 \]

Таким образом, боковая поверхность пирамиды равна \( 390 \text{ см}^2 \).