3/|х+3|-1>=|х+2|
Чтобы решить неравенство \( \frac{3}{|x+3|} - 1 \geq |x+2| \), начнем с преобразования его. Переносим -1 на правую сторону:
\[ \frac{3}{|x+3|} \geq |x+2| + 1. \]
Теперь у нас есть две части, которые нужно анализировать. Первым делом обратим внимание на выражение \( |x+3| \) и \( |x+2| \).
Шаг 1: Определим области, которые следует рассмотреть
Мы должны учитывать две ситуации, исходя из определений модулей:
- \( x + 3 \geq 0 \) или \( x \geq -3 \)
- \( x + 3 < 0 \) или \( x < -3 \)
Шаг 2: Рассмотрим первый случай \( x \geq -3 \)
В этом случае \( |x+3| = x + 3 \) и \( |x+2| = x + 2 \). Подставляем в неравенство:
\[ \frac{3}{x + 3} \geq (x + 2) + 1 = x + 3. \]
Умножим обе стороны на \( x + 3 \) (заметим, что поскольку \( x + 3 \) положительно, знак неравенства не меняется):
\[ 3 \geq (x + 3)(x + 3). \]
Раскроем скобки:
\[ 3 \geq x^2 + 6x + 9. \]
Переносим все в одну сторону:
\[ 0 \geq x^2 + 6x + 6. \]
Это квадратное неравенство. Найдем дискриминант:
\[ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 36 - 24 = 12. \]
Корни уравнения \( x^2 + 6x + 6 = 0 \):
\[ x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{12}}{2} = -3 \pm \sqrt{3}. \]
Шаг 3: Решение неравенства
Теперь мы знаем, что корни \( -3 - \sqrt{3} \) и \( -3 + \sqrt{3} \). Так как коэффициент при \( x^2 \) положителен, неравенство \( x^2 + 6x + 6 \leq 0 \) выполняется в промежутке между корнями:
\[ -3 - \sqrt{3} \leq x \leq -3 + \sqrt{3}. \]
Шаг 4: Второй случай \( x < -3 \)
В этом случае \( |x+3| = -(x + 3) \) и \( |x+2| = -(x + 2) \). Подставляем в неравенство:
\[ \frac{3}{-(x + 3)} \geq - (x + 2) + 1. \]
Упрощаем правую сторону:
\[ \frac{3}{-(x + 3)} \geq -x - 1. \]
Умножаем обе стороны на \( -(x + 3) \) и меняем знак неравенства:
\[ 3 \leq (-x - 1)(-(x + 3)). \]
Подробно раскроем:
\[ 3 \leq (x + 1)(x + 3). \]
Далее решаем аналогично.
Заключение
Теперь необходимо объединить результаты из обоих случаев, чтобы получить полное решение. Проверяйте, что полученные значения удовлетворяют исходному неравенству.
