Даны точки (1; 0), B(- 2; 2) C(- 2; 1) и D(m; 3) Найдите значением, при котором векторы vec AB и vec CD а) коллинеарны; б) перпендикулярны
Чтобы найти значение \( m \), при котором векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) будут коллинеарны и перпендикулярны, сначала определим координаты векторов.
Векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\):
Точка A имеет координаты \( (1, 0) \), точка B - \((-2, 2)\), точка C - \((-2, 1)\), а точка D - \((m, 3)\).
Вектор \(\vec{AB}\) можно найти, используя формулу:
\[ \vec{AB} = B - A = (-2 - 1, 2 - 0) = (-3, 2) \]
Вектор \(\vec{CD}\):
\[ \vec{CD} = D - C = (m - (-2), 3 - 1) = (m + 2, 2) \]
a) Коллинеарность:
Векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) коллинеарны, если их векторное произведение равно нулю или если один вектор является скалярным произведением другого. То есть:
\[ k \cdot \vec{AB} = \vec{CD} \]
Что означает, что:
\[ \frac{m + 2}{-3} = \frac{2}{2} \]
Равенство можно упростить:
\[ \frac{m + 2}{-3} = 1 \implies m + 2 = -3 \implies m = -5 \]
б) Перпендикулярность:
Векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение \(\vec{AB} \cdot \vec{CD}\) выражается как:
\[ \vec{AB} \cdot \vec{CD} = (-3)(m + 2) + (2)(2) = 0 \]
Раскрывая скобки:
\[ -3(m + 2) + 4 = 0 \implies -3m - 6 + 4 = 0 \implies -3m - 2 = 0 \implies -3m = 2 \implies m = -\frac{2}{3} \]
Таким образом, мы получили:
- При \( m = -5 \) векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) являются коллинеарными.
- При \( m = -\frac{2}{3} \) векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) являются перпендикулярными.
