Даны точки (1; 0), B(- 2; 2) C(- 2; 1) и D(m; 3) Найдите значением, при котором векторы vec AB и vec CD а) коллинеарны; 6) перпендикулярны

Чтобы решить эту задачу, начнем с определения векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{CD} \).

1. Найдем вектор \( \vec{AB} \): Точки \( A(1, 0) \) и \( B(-2, 2) \). Вектор \( \vec{AB} \) можно вычислить как разность координат: \[ \vec{AB} = B - A = (-2 - 1; 2 - 0) = (-3; 2) \]

2. Теперь найдем вектор \( \vec{CD} \): Точки \( C(-2, 1) \) и \( D(m, 3) \). Вектор \( \vec{CD} \) будет: \[ \vec{CD} = D - C = (m - (-2); 3 - 1) = (m + 2; 2) \]

Теперь у нас есть два вектора:

• \( \vec{AB} = (-3; 2) \)
• \( \vec{CD} = (m + 2; 2) \)

а) Коллинеарность векторов

Векторы коллинеарны, если один из них является кратным другому. Это означает, что существует некоторое число \( k \), такое что: \[ \vec{CD} = k \cdot \vec{AB} \] Сравняем компоненты: \[ (m + 2, 2) = k(-3, 2) \]

Из второго уравнения: \[ 2 = 2k \implies k = 1 \]

Теперь подставим значение \( k \) в первое уравнение: \[ m + 2 = -3k \implies m + 2 = -3 \implies m = -5 \]

Таким образом, для коллинеарности векторов \( m = -5 \).

б) Перпендикулярность векторов

Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю: \[ \vec{AB} \cdot \vec{CD} = 0 \]

Скалярное произведение: \[ (-3, 2) \cdot (m + 2, 2) = -3(m + 2) + 2 \cdot 2 = -3m - 6 + 4 = -3m - 2 \]

Приравняем к нулю: \[ -3m - 2 = 0 \implies -3m = 2 \implies m = -\frac{2}{3} \]

Таким образом, для перпендикулярности векторов \( m = -\frac{2}{3} \).

Результаты:

• Для коллинеарности: \( m = -5 \)
• Для перпендикулярности: \( m = -\frac{2}{3} \)

Если у вас есть дополнительные вопросы или понадобятся пояснения, не стесняйтесь спрашивать!