Log ³√3/3 по основанию 1/27

Чтобы найти логарифм \(\log_{\frac{1}{27}} \left(\frac{\sqrt[3]{3}}{3}\right)\), мы можем воспользоваться свойствами логарифмов и некоторыми преобразованиями.

Сначала упростим выражение внутри логарифма:

\[ \frac{\sqrt[3]{3}}{3} = \frac{3^{1/3}}{3^1} = 3^{1/3 - 1} = 3^{-2/3} \]

Теперь у нас есть:

\[ \log_{\frac{1}{27}} (3^{-2/3}) \]

Затем, заметим, что \(\frac{1}{27} = 27^{-1} = (3^3)^{-1} = 3^{-3}\). Таким образом, мы можем переписать логарифм:

\[ \log_{3^{-3}}(3^{-2/3}) \]

Теперь применим свойство логарифмов:

\[ \log_{a^b}(x) = \frac{1}{b} \log_a(x) \]

Таким образом:

\[ \log_{3^{-3}}(3^{-2/3}) = \frac{1}{-3} \log_3(3^{-2/3}) \]

Теперь посчитаем \(\log_3(3^{-2/3})\):

\[ \log_3(3^{-2/3}) = -\frac{2}{3} \]

Теперь подставляем это обратно:

\[ \frac{1}{-3} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{2}{9} \]

Таким образом, окончательный ответ:

\[ \log_{\frac{1}{27}} \left(\frac{\sqrt[3]{3}}{3}\right) = \frac{2}{9} \]