Уравнение гармонических колебаний в единицах СИ имеет вид x=0,5cos10t. а) Чему равна амплитуда колебаний? б) Чему равна циклическая частота колебаний? в) Чему равна частота колебаний? г) Чему равен период колебаний? д) Чему равно смещение тела через половину периода после начального момента времени? е) Чему равно смещение тела через четверть периода после начального момента времени?
Давайте разберёмся с вашим уравнением гармонических колебаний, которое задано в виде:
\[ x = 0,5 \cos(10t) \]
где \( x \) — смещение, \( t \) — время, а \( 10 \) — это коэффициент при \( t \), который определяет циклическую частоту.
а) Амплитуда колебаний — это максимальное отклонение от равновесного положения. В данном уравнении амплитуда равна:
\[ A = 0,5 \, \text{м} \]
б) Циклическая частота колебаний \( \omega \) измеряется в радианах в секунду и раскрывается из уравнения как коэффициент перед \( t \):
\[ \omega = 10 \, \text{рад/с} \]
в) Частота колебаний \( f \) связана с циклической частотой формулой:
\[ f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{10}{2\pi} \approx 1,59 \, \text{Гц} \]
г) Период колебаний \( T \) связан с частотой и вычисляется по формуле:
\[ T = \frac{1}{f} = \frac{1}{\frac{10}{2\pi}} = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5} \approx 0,628 \, \text{с} \]
д) Смещение тела через половину периода (половина периода соответствует \( T/2 \)):
\[ T/2 = \frac{\pi}{10} \]
Теперь подставим это значение в уравнение:
\[ x\left(\frac{T}{2}\right) = 0,5 \cos(10 \cdot \frac{\pi}{10}) = 0,5 \cos(\pi) = 0,5 \cdot (-1) = -0,5 \, \text{м} \]
е) Смещение тела через четверть периода (четверть периода соответствует \( T/4 \)):
\[ T/4 = \frac{\pi}{20} \]
Теперь подставим это значение в уравнение:
\[ x\left(\frac{T}{4}\right) = 0,5 \cos(10 \cdot \frac{\pi}{20}) = 0,5 \cos(\frac{\pi}{2}) = 0,5 \cdot 0 = 0 \, \text{м} \]
Таким образом, ответы на ваши вопросы следующие:
а) Амплитуда: \( 0,5 \, \text{м} \)
б) Циклическая частота: \( 10 \, \text{рад/с} \)
в) Частота: \( \approx 1,59 \, \text{Гц} \)
г) Период: \( \approx 0,628 \, \text{с} \)
д) Смещение через половину периода: \( -0,5 \, \text{м} \)
е) Смещение через четверть периода: \( 0 \, \text{м} \)
