В коробке лежат два черных, два белых и два красный шар. Из коробки наугад вынимают два шара. Какова вероятность, что вытянутые шары окажутся одного цвета.

Чтобы найти вероятность того, что вытянутые шары окажутся одного цвета, сначала посчитаем общее количество возможных исходов и количество благоприятных исходов.

В коробке лежат:

• 2 черных шара
• 2 белых шара
• 2 красных шара

Общее количество шаров: 2 черных + 2 белых + 2 красных = 6 шаров.

Теперь найдем количество способов выбрать 2 шара из 6. Это можно сделать с помощью формулы сочетаний:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где \( n \) – общее количество элементов (шаров), \( k \) – количество элементов, которые выбираем (в данном случае 2).

Так что:

\[ C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \]

Теперь найдем количество благоприятных исходов, когда оба шара одного цвета.

1. Для черных шаров:

   • Можно выбрать 2 черных шара: \( C(2, 2) = 1 \)

2. Для белых шаров:

   • Можно выбрать 2 белых шара: \( C(2, 2) = 1 \)

3. Для красных шаров:

   • Можно выбрать 2 красных шара: \( C(2, 2) = 1 \)

Итак, общее количество благоприятных исходов: 1 (черные) + 1 (белые) + 1 (красные) = 3.

Теперь можем рассчитать вероятность того, что оба шара одного цвета:

\[ P = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} \]

Таким образом, вероятность того, что вытянутые шары окажутся одного цвета, составляет \( \frac{1}{5} \) или 20%.