Решите неравенство (x-4) (x-1) >0

Чтобы решить неравенство \((x-4)(x-1) > 0\), начнем с определения нулей выражения.

1. Найдем значения \(x\), при которых произведение равно нулю: \[ (x-4)(x-1) = 0 \] Это произойдет, когда \(x - 4 = 0\) или \(x - 1 = 0\). Решим каждое уравнение:
   • \(x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4\)
   • \(x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1\)

Таким образом, мы получили два критических значения: \(x = 1\) и \(x = 4\).

2. Теперь нам нужно рассмотреть промежутки, которые образуются этими нулями. У нас есть три интервала:

   • \( (-\infty, 1) \)
   • \( (1, 4) \)
   • \( (4, +\infty) \)

3. Определим знак произведения \((x-4)(x-1)\) на каждом из этих интервалов:

• Для интервала \((-\infty, 1)\), выберем, например, \(x = 0\): \[ (0 - 4)(0 - 1) = (-4)(-1) = 4 > 0 \] Знак положительный.

• Для интервала \((1, 4)\), выберем \(x = 2\): \[ (2 - 4)(2 - 1) = (-2)(1) = -2 < 0 \] Знак отрицательный.

• Для интервала \((4, +\infty)\), выберем \(x = 5\): \[ (5 - 4)(5 - 1) = (1)(4) = 4 > 0 \] Знак положительный.

4. Теперь сводим все полученные данные:

   • На интервале \((-\infty, 1)\) знак положительный.
   • На интервале \((1, 4)\) знак отрицательный.
   • На интервале \((4, +\infty)\) знак положительный.

5. Мы ищем, где \((x - 4)(x - 1) > 0\): Это происходит на интервалах:

   • \( (-\infty, 1) \)
   • \( (4, +\infty) \)

Таким образом, окончательный ответ: \[ x \in (-\infty, 1) \cup (4, +\infty) \]