Найди  f ′ ( π ) f ′ (π), если  f ( x ) = ( 5 x + 12 ) ⋅ cos ⁡ x f(x)=(5x+12)⋅cosx. Запиши в поле ответа верное целое число или десятичную дробь.

Для того чтобы найти производную функции \( f(x) = (5x + 12) \cdot \cos x \) и затем вычислить \( f'(\pi) \), будем использовать правило произведения. Правило произведения гласит, что если \( f(x) = u(x) \cdot v(x) \), то производная \( f'(x) \) определяется как:

\[ f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \]

В нашем случае:

• \( u(x) = 5x + 12 \) и \( v(x) = \cos x \).

Теперь находим производные \( u'(x) \) и \( v'(x) \):

• \( u'(x) = 5 \),
• \( v'(x) = -\sin x \).

Теперь подставляем эти значения в формулу для производной:

\[ f'(x) = (5) \cdot (\cos x) + (5x + 12) \cdot (-\sin x) \]

Это упрощается до следующего вида:

\[ f'(x) = 5 \cos x - (5x + 12) \sin x \]

Теперь мы можем найти \( f'(\pi) \):

\[ f'(\pi) = 5 \cos(\pi) - (5\pi + 12) \sin(\pi) \]

Значения тригонометрических функций в точке \( \pi \) следующие:

• \( \cos(\pi) = -1 \),
• \( \sin(\pi) = 0 \).

Подставляя эти значения, получаем:

\[ f'(\pi) = 5 \cdot (-1) - (5\pi + 12) \cdot 0 \] \[ f'(\pi) = -5 - 0 \] \[ f'(\pi) = -5 \]

Итак, верный ответ: \( -5 \).