Два атомобиля одновременно отпровляются в 400 километровый ровный пробег. Первый едет со скоростью на 20 км/ч больше, чем второй, и прибывает к финишу на 1 час раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля
Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим скорость второго автомобиля как \( v \) км/ч. Тогда скорость первого автомобиля будет равна \( v + 20 \) км/ч.
Теперь мы можем использовать формулу для времени:
\[ \text{время} = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}} \]
Поскольку оба автомобиля проезжают одно и то же расстояние в 400 километров, время, затраченное каждым из них, можно выразить следующим образом:
Для второго автомобиля: \[ t_2 = \frac{400}{v} \]
Для первого автомобиля: \[ t_1 = \frac{400}{v + 20} \]
По условию задачи, первый автомобиль прибывает на 1 час раньше второго. Это можно записать как:
\[ t_2 - t_1 = 1 \]
Подставим выражения для времени:
\[ \frac{400}{v} - \frac{400}{v + 20} = 1 \]
Теперь умножим обе стороны уравнения на \( v(v + 20) \) для устранения дробей:
\[ 400(v + 20) - 400v = v(v + 20) \]
Упростим уравнение:
\[ 400 \cdot 20 = v^2 + 20v \]
\[ 8000 = v^2 + 20v \]
Перепишем уравнение в стандартной форме:
\[ v^2 + 20v - 8000 = 0 \]
Теперь можем использовать квадратное уравнение для нахождения корней. Используя формулу дискримината \( D = b^2 - 4ac \):
\[ D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8000) = 400 + 32000 = 32400 \]
Теперь найдем корни уравнения:
\[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 \pm \sqrt{32400}}{2} \]
Сначала находим \( \sqrt{32400} = 180 \):
\[ v = \frac{-20 \pm 180}{2} \]
Теперь мы получаем два корня:
- \( v = \frac{160}{2} = 80 \)
- \( v = \frac{-200}{2} = -100 \) (отрицательная скорость не имеет смысла в данной задаче)
Таким образом, скорость второго автомобиля \( v = 80 \) км/ч.
Теперь найдем скорость первого автомобиля:
\[ v + 20 = 80 + 20 = 100 \text{ км/ч} \]
Итак, скорость первого автомобиля составляет 100 км/ч.
