Логарифм x-3(x2+4x-5)>логарифм x-3(x-1)

Для решения неравенства \( \log_{x-3}(x^2 + 4x - 5) > \log_{x-3}(x - 1) \) необходимо рассмотреть, при каких условиях оно выполняется.

Во-первых, мы можем использовать свойства логарифмов. Неравенство можно переписать следующим образом:

\[ x^2 + 4x - 5 > x - 1 \]

Теперь упростим левую часть. Переносим все элементы в одну сторону:

\[ x^2 + 4x - 5 - x + 1 > 0 \]

Соберем подобные члены:

\[ x^2 + 3x - 4 > 0 \]

Теперь необходимо найти корни данного квадратного уравнения. Для этого используем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \]

Корни находятся по формуле:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 5}{2} \]

Таким образом, получаем:

\[ x_1 = \frac{2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-8}{2} = -4 \]

Теперь, чтобы определить интервалы, в которых квадратный трёхчлен положителен, проанализируем знаки на интервалах, образованных корнями: \( (-\infty, -4) \), \( (-4, 1) \) и \( (1, +\infty) \).

1. Для \( x < -4 \) выбираем, например, \( x = -5 \): \[ (-5)^2 + 3(-5) - 4 = 25 - 15 - 4 = 6 > 0 \]

2. Для \( -4 < x < 1 \) выбираем, например, \( x = 0 \): \[ 0^2 + 3(0) - 4 = -4 < 0 \]

3. Для \( x > 1 \) выбираем, например, \( x = 2 \): \[ 2^2 + 3(2) - 4 = 4 + 6 - 4 = 6 > 0 \]

Таким образом, неравенство выполняется на интервалах \( (-\infty, -4) \) и \( (1, +\infty) \).

Также не забудьте учесть область определения логарифма: \( x - 3 > 0 \) и \( x - 1 > 0 \), следовательно: \[ x > 3 \]

Таким образом, итоговый ответ — ось, где неравенство выполняется, будет \( (3, +\infty) \).