( x 7)(x-1)(x 8)<0

Чтобы решить неравенство \( (x - 7)(x - 1)(x + 8) < 0 \), начнем с нахождения корней каждого множителя. Корни, соответственно, имеются на числовой оси:

1. \( x - 7 = 0 \) → \( x = 7 \)
2. \( x - 1 = 0 \) → \( x = 1 \)
3. \( x + 8 = 0 \) → \( x = -8 \)

Теперь мы имеем три корня: \( x = -8 \), \( x = 1 \) и \( x = 7 \). Эти корни делят числовую ось на четыре интервала:

1. \( (-\infty, -8) \)
2. \( (-8, 1) \)
3. \( (1, 7) \)
4. \( (7, +\infty) \)

Теперь для каждого интервала определим знак произведения \( (x - 7)(x - 1)(x + 8) \):

1. Интервал \( (-\infty, -8) \): Выберем точку, например, \( x = -9 \). \[ (-9 - 7)(-9 - 1)(-9 + 8) = (-16)(-10)(-1) = -160 < 0 \quad \text{(отрицательный знак)} \]

2. Интервал \( (-8, 1) \): Возьмем \( x = 0 \). \[ (0 - 7)(0 - 1)(0 + 8) = (-7)(-1)(8) = 56 > 0 \quad \text{(положительный знак)} \]

3. Интервал \( (1, 7) \): Рассмотрим \( x = 2 \). \[ (2 - 7)(2 - 1)(2 + 8) = (-5)(1)(10) = -50 < 0 \quad \text{(отрицательный знак)} \]

4. Интервал \( (7, +\infty) \): Выберем \( x = 8 \). \[ (8 - 7)(8 - 1)(8 + 8) = (1)(7)(16) = 112 > 0 \quad \text{(положительный знак)} \]

Теперь у нас есть информация о знаках на каждом интервале:

• \( (-\infty, -8) \): отрицательный
• \( (-8, 1) \): положительный
• \( (1, 7) \): отрицательный
• \( (7, +\infty) \): положительный

Мы ищем промежутки, где произведение меньше нуля, то есть:

• \( (-\infty, -8) \)
• \( (1, 7) \)

Неравенство строгое (< 0), следовательно, корни \( x = -8 \), \( x = 1 \) и \( x = 7 \) не включаются в решение.

Таким образом, решение неравенства: \[ x \in (-\infty, -8) \cup (1, 7) \]